题目
7.设X1,X2,L,Xn是来自总体N(μ,σ^2 )的样本,则统计量 dfrac (overline {X)-mu }(S/sqrt {n)} 服从的分布是-|||-A.t(n) B.N(0,1) C. (n-1) D. ^2(n-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解统计量的定义
统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 是样本均值 $\overline {X}$ 减去总体均值 $\mu$，再除以样本标准差 $S$ 除以 $\sqrt {n}$。其中，$\overline {X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定统计量的分布
根据中心极限定理，当样本容量 $n$ 足够大时，样本均值 $\overline {X}$ 近似服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2/n)$。因此，$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma/\sqrt {n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。然而，由于我们使用的是样本标准差 $S$ 而不是总体标准差 $\sigma$，所以统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 3：选择正确的分布
根据上述分析，统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $t(n-1)$。
统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 是样本均值 $\overline {X}$ 减去总体均值 $\mu$，再除以样本标准差 $S$ 除以 $\sqrt {n}$。其中，$\overline {X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定统计量的分布
根据中心极限定理，当样本容量 $n$ 足够大时，样本均值 $\overline {X}$ 近似服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2/n)$。因此，$\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma/\sqrt {n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。然而，由于我们使用的是样本标准差 $S$ 而不是总体标准差 $\sigma$，所以统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
步骤 3：选择正确的分布
根据上述分析，统计量 $\dfrac {\overline {X}-\mu }{S/\sqrt {n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $t(n-1)$。