题目
求证: lim _(xarrow +infty )dfrac (1)({2)^x}=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义极限
根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在一个正数 $M$，使得当 $x > M$ 时，有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| < \varepsilon$。
步骤 2：不等式变形
我们有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| = \dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$，即 $\dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$。
步骤 3：求解 $x$
对不等式 $\dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$ 进行变形，得到 $2^x > \dfrac{1}{\varepsilon}$。取对数，得到 $x\ln 2 > \ln \dfrac{1}{\varepsilon}$，即 $x > \dfrac{\ln \dfrac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}$。
步骤 4：确定 $M$
取 $M = \dfrac{\ln \dfrac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}$，当 $x > M$ 时，有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| < \varepsilon$。
根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在一个正数 $M$，使得当 $x > M$ 时，有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| < \varepsilon$。
步骤 2：不等式变形
我们有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| = \dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$，即 $\dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$。
步骤 3：求解 $x$
对不等式 $\dfrac{1}{2^x} < \varepsilon$ 进行变形，得到 $2^x > \dfrac{1}{\varepsilon}$。取对数，得到 $x\ln 2 > \ln \dfrac{1}{\varepsilon}$，即 $x > \dfrac{\ln \dfrac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}$。
步骤 4：确定 $M$
取 $M = \dfrac{\ln \dfrac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}$，当 $x > M$ 时，有 $|\dfrac{1}{2^x} - 0| < \varepsilon$。