题目
设 hat(theta)是参数 theta的无偏估计量，且 D(hat(theta)) > 0，则有 () A. hat(theta)^2不是 theta^2的无偏估计 B. hat(theta)^2是 theta^2的无偏估计 C. hat(theta)^2不一定是 theta^2的无偏估计 D. hat(theta)^2不是 theta^2的估计量
$$ 设 $\hat{\theta}$是参数 $\theta$的无偏估计量，且 $D(\hat{\theta}) > 0$，则有 () $$
- A. $$ $\hat{\theta}^2$不是 $\theta^2$的无偏估计 $$
- B. $$ $\hat{\theta}^2$是 $\theta^2$的无偏估计 $$
- C. $$ $\hat{\theta}^2$不一定是 $\theta^2$的无偏估计 $$
- D. $$ $\hat{\theta}^2$不是 $\theta^2$的估计量 $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计量，则有 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：分析 $\hat{\theta}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计
根据无偏估计量的定义，要判断 $\hat{\theta}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计，需要计算 $E(\hat{\theta}^2)$ 并与 $\theta^2$ 比较。根据方差的定义，有 $D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - [E(\hat{\theta})]^2$。由于 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，所以 $E(\hat{\theta}) = \theta$。因此，$D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - \theta^2$。由于题目中给出 $D(\hat{\theta}) > 0$，所以 $E(\hat{\theta}^2) > \theta^2$。这表明 $\hat{\theta}^2$ 不是 $\theta^2$ 的无偏估计。
步骤 3：排除其他选项
选项 B 和 D 显然不正确，因为 $\hat{\theta}^2$ 是 $\theta^2$ 的估计量，但不是无偏估计。选项 C 表示 $\hat{\theta}^2$ 不一定是 $\theta^2$ 的无偏估计，这与我们之前的分析一致，但题目要求选择最准确的描述，因此选项 A 更为准确。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计量，则有 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
步骤 2：分析 $\hat{\theta}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计
根据无偏估计量的定义，要判断 $\hat{\theta}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计，需要计算 $E(\hat{\theta}^2)$ 并与 $\theta^2$ 比较。根据方差的定义，有 $D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - [E(\hat{\theta})]^2$。由于 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，所以 $E(\hat{\theta}) = \theta$。因此，$D(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}^2) - \theta^2$。由于题目中给出 $D(\hat{\theta}) > 0$，所以 $E(\hat{\theta}^2) > \theta^2$。这表明 $\hat{\theta}^2$ 不是 $\theta^2$ 的无偏估计。
步骤 3：排除其他选项
选项 B 和 D 显然不正确，因为 $\hat{\theta}^2$ 是 $\theta^2$ 的估计量，但不是无偏估计。选项 C 表示 $\hat{\theta}^2$ 不一定是 $\theta^2$ 的无偏估计，这与我们之前的分析一致，但题目要求选择最准确的描述，因此选项 A 更为准确。