计算题:-|||-图示一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,求:-|||-(1) 该波的波动表达式;-|||-(2) P处质点的振动方程.-|||-)u=0.08 m/s-|||-P (m)-|||-0 0.20 0.40 0.60-|||--0.04

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波动方程及质点振动方程的建立，涉及波形图的解读、波参数的计算以及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 确定波的基本参数：通过波形图确定振幅$A$和波长$\lambda$，利用波速公式$u = \lambda / T$计算周期$T$，进而求得角频率$\omega$。
2. 确定波动方程的形式：根据波形图中特定点的初始位移和速度方向，确定初相位$\varphi$，结合波的传播方向选择波动方程的标准形式。
3. 质点振动方程的推导：将质点的位置代入波动方程，得到仅含时间变量的振动方程。

破题关键点：

• 振幅与波长：从波形图中直接读取最大位移值为振幅$A=0.04\,\text{m}$，相邻同相点间距为波长$\lambda=0.40\,\text{m}$。
• 初相位的确定：通过$t=0$时刻$x=0$处质点的位移和速度方向，联立方程求解$\varphi$。
• 波传播方向：根据波形图和质点振动方向判断波向左传播，波动方程中取“$+$”号。

波动方程的建立

1. 确定波参数：

   • 振幅：由波形图最大位移得$A=0.04\,\text{m}$。
   • 波长：相邻同相点间距$\lambda=0.40\,\text{m}$。
   • 周期与角频率：
     $T = \frac{\lambda}{u} = \frac{0.40}{0.08} = 5\,\text{s}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5}\,\text{rad/s}.$

2. 初相位的确定：

   • 在$t=0$时，$x=0$处质点位移$y_0 = A\cos\varphi = 0$，得$\cos\varphi = 0$，即$\varphi = \pm \frac{\pi}{2}$。
   • 速度$v_0 = -A\omega\sin\varphi > 0$，代入$\varphi = -\frac{\pi}{2}$满足条件，故$\varphi = -\frac{\pi}{2}$。

3. 波动方程：
   波向左传播，方程为：
   $y = 0.04 \cos\left(5\pi x + \frac{2\pi}{5}t - \frac{\pi}{2}\right).$

P点振动方程的推导

• P点位置：由波形图可知$P$位于$x=0.20\,\text{m}$处。
• 代入波动方程：
  $y_P = 0.04 \cos\left(5\pi \cdot 0.20 + \frac{2\pi}{5}t - \frac{\pi}{2}\right) = 0.04 \cos\left(\frac{2\pi}{5}t - \frac{3\pi}{2}\right).$