49 填空(2分)设随机变量X~N(1,3²),Y~N(0,4²),X与Y的相关系数为ρ=-0.5，设Z=(1)/(3)X+(1)/(2)Y，则ρZX=____。
题目解答
答案
解析
本题考查随机变量的协方差、方差以及相关系数的计算。解题思路是先根据协方差的性质计算出$\text{Cov}(X, Z)$，再根据方差的性质计算出$\text{Var}(Z)$，最后根据相关系数的定义计算出$\rho_{XZ}$。
1. 计算协方差$\text{Cov}(X, Z)$
根据协方差的性质$\text{Cov}(X, Z)=\text{Cov}(X,\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\frac{1}{3}\text{Cov}(X,X)+\frac{1}{2}\text{Cov}(X,Y)$。
因为$\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$，已知$\text{Var}(X)=9$，$\text{Cov}(X,Y)= - 6$，所以$\text{Cov}(X, Z)=\frac{1}{3}\times9+\frac{1}{2}\times(-6)$。
$\begin{align*}\text{Cov}(X, Z)&=\frac{1}{3}\times9+\frac{1}{2}\times(-6)\\&= 3 - 3\\&= 0\end{align*}$
2. 计算方差$\text{Var}(Z)$
根据方差的性质$\text{Var}(Z)=\text{Var}(\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\left(\frac{1}{3}\right)^2\text{Var}(X)+\left(\frac{1}{2}\right)^2\text{Var}(Y)+2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\text{Cov}(X,Y)$。
已知$\text{Var}(X)=9$，$\text{Var}(Y)=16$，$\text{Cov}(X,Y)= - 6$，所以$\text{Var}(Z)=\left(\frac{1}{3}\right)^2\times9+\left(\frac{1}{2}\right)^2\times16+2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times(-6)$。
$\begin{align*}\text{Var}(Z)&=\frac{1}{9}\times9+\frac{1}{4}\times16 - 2\\&= 1 + 4 - 2\\&= 3\end{align*}$
3. 计算相关系数$\rho_{XZ}$
根据相关系数的定义$\rho_{XZ}=\frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{\text{Var}(X)}\sqrt{\text{Var}(Z)}}$。
已知$\text{Var}(X)=9$，$\text{Var}(Z)=3$，$\text{Cov}(X, Z)=0$，所以$\rho_{XZ}=\frac{0}{\sqrt{9}\sqrt{3}} = 0$。