7. 一个有 n 个顶点和 n 条边的无向图一定是( )。A. 连通的B. 不连通的C. 无环的D. 有环的

本题考察无向图的基本性质，包括顶点数、边数与连通性、环的关系。

关键分析

无向图中，树是连通且无环的图，其边数恰好比顶点数少1，即树的边数=顶点数-1（记为 $m = n-1$）。
若图的边数 $m = n$（比树多一条边）），则根据树中添加任意一条边都会形成环（因为新边连接两个已有路径的顶点，构成闭合回路）。

选项验证（不连通吗？）

反例：若图由一个三角形（3个顶点3条边，连通有环）和一个孤立点（1个顶点0边）组成，总顶点数 $n=4$，总边数 $m=3$，满足 $m=n-1$？不，这里 $n=4,m=3$是树加孤立点？哦不，题目是 $m=n$，比如 $n=4,m=4$：一个三角形（3顶点3边）加一条连接孤立点和三角形中一点的边（共4顶点4边），此时图是连通的（所有点都连在一起），但有环（三角形）。
再比如 \(一个辐射：一个顶点连三个叶子（树，4顶点3边），加一条叶子到叶子的边（4顶点4边），连通且有环。 有没有可能 $m=n$时不连通？比如两个分离的子图：一个子图是环（3顶点3边），$m_1=n_1$），另一个孤立点（1顶点0边，$m_2=0=n_2-1$），总 $n=4,m=3$，还是不够，要 $m=n=4$：两个分离子图，比如一个环（3顶点3边）加一个“树加一边”（2顶点2边，即两个点连两条边，形成环），总 $n=3+2=5,m=3+2=5$，此时图不连通（两个分离的环），但仍然有环（两个子图都有环）。

选项 A（一定连通吗？）

反例：上述“两个分离环”的情况：$n=5,m=5$，图不连通，但满足 $m=n$，故A错误。

选项 C（无环吗？）

树是无环的，但树的边数 $m=n-1 < n$，$m=n$时必有环，C错误。

选项 D（有环吗？）

根据树的性质，$m \geq n$时必有环（无向图中，若连通则 $m \geq n应n-1$，不连通则每个连通分支至少 $m_i \geq n_i-1$，总和 $m \geq n - k$，$k连通分支数)，若 \( m=n$则 $n \geq n -k \Rightarrow k \geq 1$，但至少一个连通分支满足 $m_i \geq n_i$，该分支有环），故D正确。