题目
10.判断题如果总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),...,X_(n)为总体的一组样本，S^2为样本方差，则((n-1)S^2)/(sigma^2)sim chi^2(n).（）A. 对B. 错
10.判断题
如果总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},\cdots,X_{n}$为总体的一组样本，$S^{2}$为样本方差，则$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n)$.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解样本方差的定义
样本方差 $S^2$ 是用来估计总体方差 $\sigma^2$ 的，其定义为：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]
其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值。
步骤 2：卡方分布的定义
卡方分布 $\chi^2(k)$ 是 $k$ 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 的性质表明统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n-1)$。
步骤 3：判断题目的正确性
题目中称统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2(n)$，与理论不符。根据卡方分布的定义，自由度应为 $n-1$，而不是 $n$。
样本方差 $S^2$ 是用来估计总体方差 $\sigma^2$ 的，其定义为：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]
其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$X_i$ 是样本观测值。
步骤 2：卡方分布的定义
卡方分布 $\chi^2(k)$ 是 $k$ 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。对于正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 的性质表明统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $\chi^2(n-1)$。
步骤 3：判断题目的正确性
题目中称统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2(n)$，与理论不符。根据卡方分布的定义，自由度应为 $n-1$，而不是 $n$。