10.-|||-设某城市成年男子的身高 sim N((170)^circ ,(6)^2)-|||-(单位:cm)-|||-(1)问应如何设计公共汽车车门的高度,使男子与-|||-车门顶碰头的几率小于0.01?-|||-(2)若车门高为182cm,求100个成年男子与车门-|||-顶碰头的人数不多于2的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的应用及二项分布的泊松近似。

解题思路：

1. 第（1）题：通过标准化将正态分布转化为标准正态分布，利用分位数确定车门高度，使得碰头概率小于0.01。
2. 第（2）题：先计算单次碰头概率，再利用二项分布的泊松近似计算100次独立事件中碰头人数不超过2的概率。

关键点：

• 标准化转换：将正态分布问题转化为标准正态分布问题。
• 分位数应用：根据右侧概率0.01确定分位数。
• 泊松近似条件：当试验次数n较大且概率p较小时，用泊松分布近似二项分布。

第（1）题

设计车门高度要求

设车门高度为$l$，要求$P(X > l) < 0.01$。
将$X$标准化：
$Z = \frac{X - 170}{6} \sim N(0,1)$
则：
$P\left(Z > \frac{l - 170}{6}\right) < 0.01$

查标准正态分布表

右侧概率0.01对应的分位数为$z_{0.01} = 2.33$，因此：
$\frac{l - 170}{6} \geq 2.33$
解得：
$l \geq 170 + 6 \times 2.33 = 183.98 \, \text{cm}$
结论：车门高度应设计为至少$184$厘米。

第（2）题

单次碰头概率

车门高$182$厘米时，碰头概率：
$p = P(X > 182) = P\left(Z > \frac{182 - 170}{6}\right) = P(Z > 2) = 0.0228$

泊松近似

设碰头人数$Y \sim \text{B}(100, 0.0228)$，当$n$大且$p$小，可用泊松分布近似，参数$\lambda = np = 100 \times 0.0228 = 2.28$。
计算$P(Y \leq 2)$：
$\begin{aligned}P(Y=0) &= e^{-2.28} \approx 0.1018, \\P(Y=1) &= e^{-2.28} \times 2.28 \approx 0.2323, \\P(Y=2) &= \frac{e^{-2.28} \times 2.28^2}{2} \approx 0.2629.\end{aligned}$
总概率：
$P(Y \leq 2) \approx 0.1018 + 0.2323 + 0.2629 = 0.6$