题目
2.填空题设总体Xsim N(2,9)，X_(1),X_(2),...,X_(5)是来自总体X的样本，bar(X)是样本均值，S^2是样本方差，则E(S^2)=( ).
2.填空题
设总体$X\sim N(2,9)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{5}$是来
自总体X的样本，$\bar{X}$是样本均值，$S^{2}$是样本
方差，则$E(S^{2})=( )$.
题目解答
答案
为了找到样本方差 $ S^2 $ 的期望值，我们首先回顾样本方差的定义。对于大小为 $ n $ 的样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，样本方差 $ S^2 $ 由下式给出：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]
其中 $ \bar{X} $ 是样本均值：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
对于来自正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的样本，样本方差 $ S^2 $ 的期望值等于总体方差 $ \sigma^2 $。这是统计学中一个众所周知的结果。因此，如果总体 $ X $ 服从 $ N(2, 9) $ 分布，总体方差 $ \sigma^2 $ 为 9。因此，样本方差 $ S^2 $ 的期望值为：
\[ E(S^2) = \sigma^2 = 9 \]
这个结果与样本大小无关，只要样本大小 $ n $ 大于 1。在这个问题中，样本大小 $ n $ 为 5，所以样本方差 $ S^2 $ 的期望值为：
\[ E(S^2) = 9 \]
因此，答案是：
\[
\boxed{9}
\]
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差 $S^2$ 定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中 $n$ 是样本大小，$X_i$ 是样本观测值，$\bar{X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算总体方差
总体 $X$ 服从正态分布 $N(2, 9)$，其中均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = 9$。
步骤 3：样本方差的期望值
对于来自正态分布的样本，样本方差 $S^2$ 的期望值等于总体方差 $\sigma^2$。因此，$E(S^2) = \sigma^2$。
样本方差 $S^2$ 定义为：\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] 其中 $n$ 是样本大小，$X_i$ 是样本观测值，$\bar{X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算总体方差
总体 $X$ 服从正态分布 $N(2, 9)$，其中均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = 9$。
步骤 3：样本方差的期望值
对于来自正态分布的样本，样本方差 $S^2$ 的期望值等于总体方差 $\sigma^2$。因此，$E(S^2) = \sigma^2$。