题目
9.设X1,X2,···,Nn,···为相互独立同分布的随机变量序列,且 (X)_(i)=mu (X)_(1)=-|||-(sigma )^2(i=1,2,... ), 则下列选项不正确的是 () 。-|||-A.当n充分大时, 近似地服从正态分布 (dfrac (mu )(n),dfrac ({sigma )^2}(n))-|||-dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i)-|||-B.当n充分大时, X,近似地服从正态分布 (mu ,dfrac ({sigma )^2}(n))-|||-C.当n充分大时, sum _(i=1)^n(X)_(i) 近似地服从正态分布N(nμ,nσ^2)-|||-D. lim _(narrow infty )P(|dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i)-n|lt e)=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用中心极限定理
中心极限定理指出，当样本量n充分大时，独立同分布的随机变量序列的和近似服从正态分布。对于随机变量序列${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$，其均值$\mu$和方差${\sigma}^{2}$，则$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma}^{2})$。
步骤 2：分析选项A
选项A中，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(\dfrac {\mu }{n},\dfrac {{\sigma}^{2}}{n})$。根据中心极限定理，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值应为$\mu$，方差应为$\dfrac {{\sigma}^{2}}{n}$，因此选项A不正确。
步骤 3：分析选项B
选项B中，${X}_{i}$近似服从正态分布$N(\mu ,\dfrac {{\sigma}^{2}}{n})$。由于${X}_{i}$是独立同分布的随机变量，其分布不会随n的增大而改变，因此选项B不正确。
步骤 4：分析选项C
选项C中，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma}^{2})$。根据中心极限定理，当n充分大时，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值为$n\mu$，方差为$n{\sigma}^{2}$，因此选项C正确。
步骤 5：分析选项D
选项D中，$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-\mu |\lt e)=1$。根据大数定律，当n充分大时，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的值会以概率1收敛于$\mu$，因此选项D正确。
中心极限定理指出，当样本量n充分大时，独立同分布的随机变量序列的和近似服从正态分布。对于随机变量序列${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$，其均值$\mu$和方差${\sigma}^{2}$，则$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma}^{2})$。
步骤 2：分析选项A
选项A中，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(\dfrac {\mu }{n},\dfrac {{\sigma}^{2}}{n})$。根据中心极限定理，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值应为$\mu$，方差应为$\dfrac {{\sigma}^{2}}{n}$，因此选项A不正确。
步骤 3：分析选项B
选项B中，${X}_{i}$近似服从正态分布$N(\mu ,\dfrac {{\sigma}^{2}}{n})$。由于${X}_{i}$是独立同分布的随机变量，其分布不会随n的增大而改变，因此选项B不正确。
步骤 4：分析选项C
选项C中，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu ,n{\sigma}^{2})$。根据中心极限定理，当n充分大时，$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的均值为$n\mu$，方差为$n{\sigma}^{2}$，因此选项C正确。
步骤 5：分析选项D
选项D中，$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-\mu |\lt e)=1$。根据大数定律，当n充分大时，$\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的值会以概率1收敛于$\mu$，因此选项D正确。