19. (5.0分) 设A为m×n矩阵，若Ax=b有无穷解，则Ax=0有非零解。A. 对B. 错

本题考查线性方程组解的判定定理相关知识点。解题思路是根据非齐次线性方程组 $Ax = b$ 有无穷解的条件，推导出系数矩阵 $A$ 的秩的情况，再依据齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解的条件来判断该命题的正确性。

详细解析

• 步骤一：明确非齐次线性方程组 $Ax = b$ 有无穷解的条件
  对于非齐次线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$x$ 是 $n$ 维列向量，$b$ 是 $m$ 维列向量。根据线性方程组解的判定定理，$Ax = b$ 有无穷解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的秩等于增广矩阵 $\overline{A}=(A,b)$ 的秩，且都小于未知数的个数 $n$，即 $r(A)=r(\overline{A})\lt n$。
• 步骤二：明确齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解的条件
  对于齐次线性方程组 $Ax = 0$，它有非零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的秩小于未知数的个数 $n$，即 $r(A)\lt n$。
• 步骤三：根据已知条件判断命题正确性
  已知 $Ax = b$ 有无穷解，由步骤一可知 $r(A)=r(\overline{A})\lt n$，那么必然有 $r(A)\lt n$。再根据步骤二，当 $r(A)\lt n$ 时，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解。所以“若 $Ax = b$ 有无穷解，则 $Ax = 0$ 有非零解”这一命题是正确的。