4.设随机变量X的概率密度为f(x)=(1)/(2sqrt(2pi))e^((x+2)^(2)/(8))则X~（）A. N(-2,2)B. N(-2,4)C. N(-2,8)D. N(-2,16)

本题考查正态分布的概率密度函数的形式，解题思路是将给定的概率密度函数与正态分布概率密度函数的标准形式进行对比，从而确定随机变量$X$所服从的正态分布的参数。

正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的概率密度函数的标准形式为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差。

已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x + 2)^{2}}{8}}$。

1. 首先对比$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$与$\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$：

   • 由$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$，等式两边同时乘以$\sqrt{2\pi}$，得到$\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{2}$，解得$\sigma = 2$。

2. 然后对比$-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}$与$-\frac{(x + 2)^{2}}{8}$：

   • 因为$\sigma = 2$，所以$2\sigma^{2}=2\times2^{2}=2\times4 = 8$。
   • 又因为$-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}=-\frac{(x + 2)^{2}}{8}$，所以$x-\mu=x + 2$，可得$\mu=-2$。

   由于$\mu=-2$，$\sigma^{2}=4$，所以随机变量$X$服从正态分布$N(-2,4)$。