题目
设A为M乘N的矩阵,且A的秩R(A)=M<N,则A的行向量组线性无关，列向量组线性相关，为什么？
设A为M乘N的矩阵,且A的秩R(A)=M<N,则A的行向量组线性无关，列向量组线性相关，为什么？
题目解答
答案
知识点: 向量组a1,...,as 线性无关的充要条件是向量组的秩等于 s.
R(A)=M, 所以A的行向量组的秩为M.
而A有M行, 所以A的行向量组线性无关.
R(A)=M, 所以A的列向量组的秩为M.
而A有N行, M<N, 所以A的列向量组线性相关.
R(A)=M, 所以A的行向量组的秩为M.
而A有M行, 所以A的行向量组线性无关.
R(A)=M, 所以A的列向量组的秩为M.
而A有N行, M<N, 所以A的列向量组线性相关.
解析
步骤 1：理解矩阵的秩
矩阵A的秩R(A)定义为矩阵A的行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数。这里，R(A)=M，表示矩阵A的行向量组的最大线性无关组的个数为M，列向量组的最大线性无关组的个数也为M。
步骤 2：行向量组线性无关
由于矩阵A有M行，且R(A)=M，说明矩阵A的行向量组的最大线性无关组的个数等于行数M，因此A的行向量组线性无关。
步骤 3：列向量组线性相关
由于矩阵A有N列，且R(A)=M，而M
矩阵A的秩R(A)定义为矩阵A的行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数。这里，R(A)=M，表示矩阵A的行向量组的最大线性无关组的个数为M，列向量组的最大线性无关组的个数也为M。
步骤 2：行向量组线性无关
由于矩阵A有M行，且R(A)=M，说明矩阵A的行向量组的最大线性无关组的个数等于行数M，因此A的行向量组线性无关。
步骤 3：列向量组线性相关
由于矩阵A有N列，且R(A)=M，而M