1.设x1,x2,···,xn是来自N(μ,1)的样本,考虑如下假设检验问题-|||-_(0):u=2 Vs (H)_(1):mu =3,-|||-若检验由拒绝域为 = overline {x)geqslant 2.6} 确定.-|||-(1)当 n=20 时求检验犯两类错误的概率;-|||-(2)如果要使得检验犯第二类错误的概率 beta leqslant 0.01, n最小应取多少?-|||-(3)证明:当 arrow infty 时,α→0,β→0.

步骤 1：计算第一类错误的概率 $\alpha$
当 $H_0$ 为真时，$\bar{x}$ 服从 $N(2, \frac{1}{n})$。因此，$\alpha$ 可以表示为：
$$
\alpha = P(\bar{x} \geqslant 2.6 | H_0) = P\left(Z \geqslant \frac{2.6 - 2}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right)
$$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。当 $n=20$ 时，$\alpha$ 可以计算为：
$$
\alpha = P\left(Z \geqslant \frac{2.6 - 2}{\sqrt{\frac{1}{20}}}\right) = P(Z \geqslant 2.683) = 0.0037
$$
步骤 2：计算第二类错误的概率 $\beta$
当 $H_1$ 为真时，$\bar{x}$ 服从 $N(3, \frac{1}{n})$。因此，$\beta$ 可以表示为：
$$
\beta = P(\bar{x} < 2.6 | H_1) = P\left(Z < \frac{2.6 - 3}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right)
$$
当 $n=20$ 时，$\beta$ 可以计算为：
$$
\beta = P\left(Z < \frac{2.6 - 3}{\sqrt{\frac{1}{20}}}\right) = P(Z < -2.683) = 0.0367
$$
步骤 3：确定 $n$ 的最小值以使 $\beta \leqslant 0.01$
要使 $\beta \leqslant 0.01$，我们需要找到满足以下条件的最小 $n$：
$$
P\left(Z < \frac{2.6 - 3}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right) \leqslant 0.01
$$
即：
$$
\frac{2.6 - 3}{\sqrt{\frac{1}{n}}} \leqslant -2.326
$$
解得：
$$
n \geqslant \left(\frac{0.4}{2.326}\right)^2 = 33.99
$$
因此，$n$ 的最小值为 34。
步骤 4：证明当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\alpha \rightarrow 0$，$\beta \rightarrow 0$
当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{\sqrt{n}} \rightarrow 0$，因此：
$$
\alpha = P\left(Z \geqslant \frac{2.6 - 2}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right) \rightarrow P(Z \geqslant \infty) = 0
$$
$$
\beta = P\left(Z < \frac{2.6 - 3}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right) \rightarrow P(Z < -\infty) = 0
$$