题目
随机变量的分布函数都是右连续的函数。A. 对B. 错
随机变量的分布函数都是右连续的函数。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
分布函数的右连续性是概率论中的一个基本性质。根据定义,分布函数$F(x) = P\{X \leq x\}$,其核心特点包括非减性、右连续性以及极限条件。右连续性的成立基于概率测度的性质:当$x$从右侧无限接近某点$x_0$时,事件$\{X \leq x\}$会“包含”$\{X \leq x_0\}$,因此极限值等于函数值。无论随机变量是离散型还是连续型,分布函数均满足右连续性。
关键概念解析
- 分布函数定义:$F(x) = P\{X \leq x\}$,描述随机变量$X$取值不超过$x$的概率。
- 右连续性证明:
- 对任意$x_0$,考虑$x$从右侧趋近于$x_0$,即$x \downarrow x_0$。
- 事件$\{X \leq x\}$随$x$减小而单调缩小,极限为$\{X \leq x_0\}$。
- 根据连续性定理,概率的极限等于极限的概率,即:
$\lim_{x \downarrow x_0} F(x) = P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \{X \leq x_0 + \frac{1}{n}\}\right\} = P\{X \leq x_0\} = F(x_0).$ - 因此,$F(x)$在$x_0$处右连续。
特殊情况验证
- 离散型随机变量:例如,$X$在$x_0$处有概率质量$P\{X = x_0\}$,此时$F(x)$在$x_0$处跳跃,但右极限仍等于$F(x_0)$。
- 连续型随机变量:$F(x)$连续,自然右连续。