题目
总体X服从参数100的泊松分布，样本(X_(1),dots,X_(25))，则样本均值的期望等于____，样本均值的方差为____
总体X服从参数100的泊松分布，样本(X_{1},\dots,X_{25})，则样本均值的期望等于____，样本均值的方差为____
题目解答
答案
已知总体 $X$ 服从参数为 100 的泊松分布，其期望 $E(X) = 100$，方差 $D(X) = 100$。
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25} X_i$，利用期望和方差的性质：
- 样本均值期望：$E(\overline{X}) = E(X) = 100$；
- 样本均值方差：$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{100}{25} = 4$。
答案：
\[
\boxed{100, 4}
\]
解析
本题考查泊松分布的期望与方差性质以及样本均值的期望和方差的计算。解题思路如下：
- 首先明确泊松分布的期望和方差性质：若总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$X\sim P(\lambda)$，那么总体$X$的期望$E(X)=\lambda$，方差$D(X)=\lambda$。
- 接着根据已知条件确定总体$X$的期望和方差：已知总体$X$服从参数为$100$的泊松分布，即$\lambda = 100$，所以$E(X)=100$，$D(X)=100$。
- 然后计算样本均值的期望：设样本为$(X_{1},\cdots,X_{n})$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，根据期望的性质$E(aY + b)=aE(Y)+b$（其中$a$、$b$为常数，$Y$为随机变量），可得$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$。因为样本中的每个$X_{i}$都与总体$X$同分布，所以$E(X_{i}) = E(X)$，那么$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot nE(X)=E(X)$。本题中$n = 25$，$E(X)=100$，所以$E(\overline{X}) = 100$。
- 最后计算样本均值的方差：根据方差的性质$D(aY + b)=a^{2}D(Y)$（其中$a$、$b$为常数，$Y$为随机变量），可得$D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。因为样本中的每个$X_{i}$都与总体$X$同分布，所以$D(X_{i}) = D(X)$，那么$D(\overline{X})=\frac{1}{n^{2}}\cdot nD(X)=\frac{D(X)}{n}$。本题中$n = 25$，$D(X)=100$，所以$D(\overline{X})=\frac{100}{25}=4$。