5.设X服从参数为2的泊松分布, =3x-2, 试求E(Y),D(Y),Cov(X,Y)-|||-及ρxy.

考查要点：本题主要考查泊松分布的期望与方差性质，以及随机变量线性变换后的期望、方差、协方差和相关系数的计算。

解题核心思路：

1. 泊松分布的性质：若$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$。
2. 线性变换的期望与方差：对于$Y=aX+b$，有$E(Y)=aE(X)+b$，$D(Y)=a^2D(X)$。
3. 协方差与相关系数：利用协方差的线性性质$Cov(X, aX+b)=aD(X)$，以及相关系数公式$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$。

破题关键点：

• 直接应用公式：根据泊松分布的参数$\lambda=2$，直接写出$E(X)$和$D(X)$。
• 线性变换的性质：将$Y=3X-2$代入期望、方差公式。
• 协方差简化：利用协方差对线性组合的分解性质，避免直接计算协方差定义式。

1. 计算$E(Y)$

根据期望的线性性质：
$E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2$
已知$X$服从参数为2的泊松分布，故$E(X)=2$，代入得：
$E(Y) = 3 \times 2 - 2 = 4$

2. 计算$D(Y)$

根据方差的线性性质（常数项对方差无影响）：
$D(Y) = D(3X - 2) = 9D(X)$
泊松分布的方差$D(X)=2$，代入得：
$D(Y) = 9 \times 2 = 18$

3. 计算$Cov(X, Y)$

将$Y=3X-2$代入协方差公式：
$Cov(X, Y) = Cov(X, 3X - 2) = 3Cov(X, X) - Cov(X, 2)$
由于$Cov(X, 2)=0$（常数与随机变量协方差为0），且$Cov(X, X)=D(X)$，因此：
$Cov(X, Y) = 3D(X) = 3 \times 2 = 6$

4. 计算相关系数$\rho_{XY}$

根据相关系数公式：
$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} = \frac{6}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}}$
化简分母：
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$
因此：
$\rho_{XY} = \frac{6}{6} = 1$