题目
从大批彩色显像管中随机抽取 100 只,其平均寿命为 10000 小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差=40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。
从大批彩色显像管中随机抽取 100 只,其平均寿命为 10000 小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差=40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。
题目解答
答案
解:构造随机变量(样本的函数)为
给定置信度
,使
查标准正态分布表得分位点为
,等价于
的置信度为0.95的置信区间为:
将样本数据代入得:的置信度为0.95的置信区间为: (9992.16,10007.84)
解析
步骤 1：构造随机变量
构造随机变量$Z=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。根据中心极限定理，当样本容量足够大时，$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：确定置信度和分位点
给定置信度$1-\alpha =0.95$，即$\alpha =0.05$。查标准正态分布表，找到分位点${z}_{\alpha /2}={z}_{0.025}=1.96$，使得$P\{Z\lt {z}_{0.025}\}=0.975$。
步骤 3：计算置信区间
根据步骤 1 和步骤 2，可以得到$\mu$的置信区间为$\overline {X}\pm {z}_{\alpha /2}\times \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$。将样本数据代入，得到$\mu$的置信区间为$(\overline {X}-1.96\times \dfrac {40}{\sqrt {100}}$, $\overline {X}+1.96\times \dfrac {40}{\sqrt {100}})$。
构造随机变量$Z=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。根据中心极限定理，当样本容量足够大时，$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 2：确定置信度和分位点
给定置信度$1-\alpha =0.95$，即$\alpha =0.05$。查标准正态分布表，找到分位点${z}_{\alpha /2}={z}_{0.025}=1.96$，使得$P\{Z\lt {z}_{0.025}\}=0.975$。
步骤 3：计算置信区间
根据步骤 1 和步骤 2，可以得到$\mu$的置信区间为$\overline {X}\pm {z}_{\alpha /2}\times \dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$。将样本数据代入，得到$\mu$的置信区间为$(\overline {X}-1.96\times \dfrac {40}{\sqrt {100}}$, $\overline {X}+1.96\times \dfrac {40}{\sqrt {100}})$。