4、如果随机变量X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则必有( ).A. X与Y独立B. X与Y不相关C. D(Y)=0D. (X)=0

本题考查方差的性质以及随机变量相关性的判断，关键公式是方差的展开式 $D(aX + bY) = a a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$，其中 $\text{Cov}(X,Y)$ 为协方差，随机变量不相关的等价条件是 $\text{Cov}(X,Y)=0$。

步骤1：展开 $D(X+Y)$ 和 $D(X-Y)$ 的方差

根据方差性质：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$
$D(X-Y) = D(X) D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$

步骤2：令两者相等，化简得协方差为0

由 $D(X+Y)=(X-Y)$，得：
$D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$
移项化简：
$4\text{Cov}(X,Y)=0 \implies \text{Cov}(X,Y)=0$

步骤3：判断选项

• A. X与Y独立：协方差为0仅能推出不相关，独立是更强的条件，不相关不一定独立，错误；
  B. X与Y不相关：协方差为0等价于不相关，正确
  C. $D(Y)=0$：协方差为0与Y的方差无关，错误
  D. $E(X)=0$：协方差与期望无关，错误