题目

设 X_1, X_2, ..., X_n 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，overline(X) 是样本均值，记 S_1^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，S_2^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2，S_3^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2，S_4^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2，则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(). A. t = (overline(X) - mu)/(S_1 / sqrt(n-1)) B. t = (overline(X) - mu)/(S_2 / sqrt(n-1)) C. t = (X - mu)/(S_3 / sqrt(n)) D. t = (overline(X) - mu)/(S_4 / sqrt(n))

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\overline{X}$ 是样本均值，记 $S_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，$S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，$S_3^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$，$S_4^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$，则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是(). A. $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$ B. $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$ C. $t = \frac{X - \mu}{S_3 / \sqrt{n}}$ D. $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_4 / \sqrt{n}}$

题目解答

答案

根据 $t$ 分布的定义，随机变量 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，其中 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。分析选项： - 选项 A：分母为 $S_1 / \sqrt{n-1}$，其中 $S_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，即 $S_1 = S$，分母变为 $S / \sqrt{n-1}$，不符合形式。 - 选项 B：分母为 $S_2 / \sqrt{n-1}$，其中 $S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，即 $S_2 = \sqrt{\frac{n-1}{n}} S$，分母变为 $S / \sqrt{n}$，符合形式。 - 选项 C、D：均使用总体均值 $\mu$，不符合样本方差定义。 答案： $\boxed{B}$

解析

本题考查正态总体下 $t$ 分布的定义及样本方差的相关知识。解题的关键在于明确 $t$ 分布的标准形式，并将各选项中的样本方差表达式代入，看是否能转化为标准形式。

1. 回顾 $t$ 分布的定义

若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\overline{X}$ 是样本均值，$S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 是样本方差，则随机变量 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布。

2. 分析选项 A

已知 $S_1^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，所以 $S_1 = S$。
选项 A 中的随机变量为 $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{n - 1}}$，将 $S_1 = S$ 代入可得：
$t = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n - 1}}$，与 $t$ 分布的标准形式 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 不符，所以选项 A 错误。

3. 分析选项 B

已知 $S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，而 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，则有：
$\frac{S_2^2}{S^2} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2}{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2} = \frac{n - 1}{n}$
所以 $S_2 = \sqrt{\frac{n - 1}{n}} S$。
选项 B 中的随机变量为 $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{n - 1}}$，将 $S_2 = \sqrt{\frac{n - 1}{n}} S$ 代入可得：
$\begin{align*}t&=\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sqrt{\frac{n - 1}{n}} S}{\sqrt{n - 1}}}\\&=\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\end{align*}$
与 $t$ 分布的标准形式 $T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 相符，所以选项 B 正确。

4. 分析选项 C 和 D

$t$ 分布的定义中，样本方差是用样本均值 $\overline{X}$ 来计算的，即 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。
而选项 C 中的随机变量为 $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_3 / \sqrt{n}}$，其中 $S_3^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2$；选项 D 中的随机变量为 $t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_4 / \sqrt{n}}$，其中 $S_4^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2$，它们都使用了总体均值 $\mu$，不符合样本方差的定义，所以选项 C 和 D 错误。