题目
6.根据对某地快递行业的调研，该地区95%的快递公司可提供可靠的快递服务，当商家选择这些优质快递公司时，其货物按时送达的概率为98%，而当商家选择其他快递公司时，其货物按时送达的概率为55%。假设有一批货物，已知按时送达，求商家选择的是优质快递公司的概率。
6.根据对某地快递行业的调研，该地区95%的快递公司可提供可靠的快递服务，当商家选择这些优质快递公司时，其货物按时送达的概率为98%，而当商家选择其他快递公司时，其货物按时送达的概率为55%。假设有一批货物，已知按时送达，求商家选择的是优质快递公司的概率。
题目解答
答案
设事件 $ A $ 为选择优质快递公司，$ A^c $ 为选择非优质快递公司，$ B $ 为货物按时送达。已知：
- $ P(A) = 0.95 $，$ P(A^c) = 0.05 $
- $ P(B|A) = 0.98 $，$ P(B|A^c) = 0.55 $
求 $ P(A|B) $。由贝叶斯定理：
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]
其中，全概率 $ P(B) $ 为：
\[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = 0.98 \times 0.95 + 0.55 \times 0.05 = 0.9585 \]
代入得：
\[ P(A|B) = \frac{0.98 \times 0.95}{0.9585} = \frac{0.931}{0.9585} \approx 0.9712 \]
或表示为分数：
\[ P(A|B) = \frac{1862}{1917} \]
**答案：** $\boxed{\frac{1862}{1917}}$ 或 $\boxed{0.9712}$
解析
考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，以及全概率公式的理解。需要根据已知条件，计算在已知结果的情况下，某个原因发生的概率。
解题核心思路：
- 明确事件定义：设事件$A$为选择优质快递公司，事件$B$为货物按时送达。
- 应用贝叶斯定理：公式为$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$，其中$P(B)$需通过全概率公式计算。
- 关键点：正确分解$P(B)$为选择优质公司和非优质公司两种情况下的概率之和。
步骤1：定义事件与已知条件
- 设事件$A$为选择优质快递公司，$A^c$为选择非优质快递公司，$B$为货物按时送达。
- 已知：
- $P(A) = 0.95$，$P(A^c) = 0.05$
- $P(B|A) = 0.98$，$P(B|A^c) = 0.55$
步骤2：计算全概率$P(B)$
根据全概率公式：
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = 0.98 \times 0.95 + 0.55 \times 0.05 = 0.9585$
步骤3：代入贝叶斯定理
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.98 \times 0.95}{0.9585} = \frac{0.931}{0.9585} \approx 0.9712$
步骤4：转化为分数形式
将分子和分母同时乘以$10000$并约分，得：
$P(A|B) = \frac{1862}{1917}$