题目

5.(填空题，10.0分)若P(A)=0.4，P(B)=0.7，事件A,B相互独立.则P(B-A)=,P(overline(A∪B))=.

5.(填空题，10.0分) 若P(A)=0.4，P(B)=0.7，事件A,B相互独立.则P(B-A)=____,P($\overline{A∪B}$)=____.

题目解答

计算 $ P(B - A) $
事件 $ B - A $ 即 $ B $ 发生且 $ A $ 不发生，利用独立性：
$P(B - A) = P(B) \cdot P(\overline{A}) = 0.7 \times (1 - 0.4) = 0.7 \times 0.6 = 0.42$
计算 $ P(\overline{A \cup B}) $
事件 $ \overline{A \cup B} $ 即 $ A $、$ B $ 均不发生，利用独立性：
$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - 0.4) \times (1 - 0.7) = 0.6 \times 0.3 = 0.18$

答案：
$\boxed{0.42, 0.18}$

本题主要考查事件的概率计算，涉及事件的差运算、对立事件以及事件的独立性等知识点。解题的关键在于理解事件之间的关系，并运用相应的概率公式进行计算。

计算$P(B - A)$
- 首先明确事件$B - A$的含义，它表示$B$发生且$A$不发生，即$B\cap\overline{A}$。
- 因为事件$A$与$B$相互独立，根据独立事件的性质，若两个事件$M$、$N$相互独立，则$M$与$\overline{N}$也相互独立，所以$B$与$\overline{A}$相互独立。
- 对于相互独立的事件$M$、$N$，有$P(M\cap N)=P(M)\cdot P(N)$，那么$P(B - A)=P(B\cap\overline{A}) = P(B) \cdot P(\overline{A})$。
- 已知$P(A)=0.4$，根据对立事件概率之和为$1$，可得$P(\overline{A}) = 1 - P(A)=1 - 0.4 = 0.6$。
- 又已知$P(B)=0.7$，将$P(B)=0.7$和$P(\overline{A}) = 0.6$代入$P(B - A)=P(B) \cdot P(\overline{A})$，可得$P(B - A)=0.7\times0.6 = 0.42$。
计算$P(\overline{A \cup B})$
- 由德摩根定律可知$\overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$，即事件$\overline{A \cup B}$表示$A$、$B$均不发生。
- 因为$A$与$B$相互独立，所以$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立。
- 同样根据相互独立事件的概率乘法公式$P(M\cap N)=P(M)\cdot P(N)$，可得$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$。
- 前面已求得$P(\overline{A}) = 1 - P(A)=1 - 0.4 = 0.6$，又因为$P(B)=0.7$，所以$P(\overline{B}) = 1 - P(B)=1 - 0.7 = 0.3$。
- 将$P(\overline{A}) = 0.6$和$P(\overline{B}) = 0.3$代入$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$，可得$P(\overline{A \cup B})=0.6\times0.3 = 0.18$。