某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一简单随机样本。(1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。(2) 在95%的置信水平下，求估计误差。(3) 如果样本均值为120元，求总体均值mu的95%的置信区间。4.2 利用下面的信息，构建总体均值mu的置信区间。(1) 总体服从正态分布，且已知sigma=500，n=15，bar(x)=8900，置信水平为95%。(2) 总体不服从正态分布，且已知sigma=500，n=35，bar(x)=8900，置信水平为95%。(3) 总体不服从正态分布，sigma未知，n=35，bar(x)=8900，s=500，置信水平为90%。(4) 总体不服从正态分布，sigma未知，n=35，bar(x)=8900，s=500，置信水平为99%。
某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一简单随机样本。 (1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。 (2) 在95%的置信水平下，求估计误差。 (3) 如果样本均值为120元，求总体均值$\mu$的95%的置信区间。 4.2 利用下面的信息，构建总体均值$\mu$的置信区间。 (1) 总体服从正态分布，且已知$\sigma=500$，$n=15$，$\bar{x}=8900$，置信水平为95%。 (2) 总体不服从正态分布，且已知$\sigma=500$，$n=35$，$\bar{x}=8900$，置信水平为95%。 (3) 总体不服从正态分布，$\sigma$未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为90%。 (4) 总体不服从正态分布，$\sigma$未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为99%。
题目解答
答案
我们来逐题解答这些统计学问题，主要涉及抽样标准误差、置信区间和估计误差等概念。
题目4.1
(1) 求样本均值的抽样标准误差
已知：
- 总体标准差 $\sigma = 15$
- 样本容量 $n = 49$
公式：
$\text{抽样标准误差} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
计算：
$\frac{15}{\sqrt{49}} = \frac{15}{7} = 2.14$
答：样本均值的抽样标准误差为 2.14 元。
(2) 在95%的置信水平下，求估计误差
估计误差（Margin of Error, ME）公式：
$ME = z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $z^*$ 是对应于置信水平的标准正态分布的临界值。
95% 置信水平对应的 $z^*$ 值为 1.96
计算：
$ME = 1.96 \times 2.14 \approx 4.20$
答：在95%置信水平下，估计误差约为 4.20 元。
(3) 求总体均值 $\mu$ 的95%置信区间
已知：
- 样本均值 $\bar{x} = 120$
- 估计误差 $ME = 4.20$
置信区间公式：
$\bar{x} \pm ME$
计算：
$120 \pm 4.20 = (115.80, 124.20)$
答：总体均值 $\mu$ 的95%置信区间为 (115.80, 124.20) 元。
题目4.2
(1) 总体服从正态分布，$\sigma=500$，$n=15$，$\bar{x}=8900$，置信水平为95%
使用公式：
$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
计算：
$\frac{500}{\sqrt{15}} \approx \frac{500}{3.87298} \approx 129.09$
95%置信水平的 $z^* = 1.96$
$ME = 1.96 \times 129.09 \approx 253.01$
$8900 \pm 253.01 = (8646.99, 9153.01)$
答：总体均值的95%置信区间为 (8646.99, 9153.01)。
(2) 总体不服从正态分布，$\sigma=500$，$n=35$，$\bar{x}=8900$，置信水平为95%
由于样本容量 $n=35 \geq 30$，根据中心极限定理，可以使用正态分布近似。
计算同上：
$\frac{500}{\sqrt{35}} \approx \frac{500}{5.916} \approx 84.52$
$ME = 1.96 \times 84.52 \approx 165.65$
$8900 \pm 165.65 = (8734.35, 9065.65)$
答：总体均值的95%置信区间为 (8734.35, 9065.65)。
(3) 总体不服从正态分布，$\sigma$未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为90%
使用t分布，自由度 $df = n - 1 = 34$
查表得：90%置信水平对应的 $t^* \approx 1.691$
计算：
$\frac{500}{\sqrt{35}} \approx 84.52$
$ME = 1.691 \times 84.52 \approx 142.93$
$8900 \pm 142.93 = (8757.07, 9042.93)$
答：总体均值的90%置信区间为 (8757.07, 9042.93)。
(4) 总体不服从正态分布，$\sigma$未知，$n=35$，$\bar{x}=8900$，$s=500$，置信水平为99%
使用t分布，自由度 $df = 34$
查表得：99%置信水平对应的 $t^* \approx 2.728$
计算：
$ME = 2.728 \times 84.52 \approx 230.59$
$8900 \pm 230.59 = (8669.41, 9130.59)$
答：总体均值的99%置信区间为 (8669.41, 9130.59)。
✅ 最终答案总结
题目4.1
- 抽样标准误差：$\boxed{2.14}$
- 估计误差：$\boxed{4.20}$
- 95%置信区间：$\boxed{(115.80, 124.20)}$
题目4.2
- 95%置信区间：$\boxed{(8646.99, 9153.01)}$
- 95%置信区间：$\boxed{(8734.35, 9065.65)}$
- 90%置信区间：$\boxed{(8757.07, 9042.93)}$
- 99%置信区间：$\boxed{(8669.41, 9130.59)}$
如需进一步解释或图示，可以继续提问！