题目

3.一种无需医生处方可得到的治疗咳嗽和鼻塞的药,按规定其酒精含量为5 %,今从已-|||-出厂的一批药中,随机抽取10瓶,测得其酒精含量为-|||-5.01 4.87 5.115.21 5.03 4.964.78 4.98 4.885.06-|||-已知酒精含量服从正态分布N(5%,0.0016).如果你是一名质检员,你认为这批药品是否-|||-合格?将这一问题化为假设检验问题,写出假设检验的步骤( alpha =0.05 ).

题目解答

答案

解析

解析
本题考查正态总体均值的的假设检验知识。解题思路是先根据题目要求，将判断这批药品是否合格的问题转化为假设检验问题，按照假设检验的一般步骤进行求解。具体步骤如下：

  1. 提出原假设和备择假设；2. 确定检验统计量及其分布；3. 根据给定的显著性水平确定拒绝域；4. 计算样本统计量的值；5. 根据样本统计量的值与拒绝域的关系做出推断。

详细解答

  1. 提出假设：
    • 原假设 $H_0$：$\mu = \mu_0 = 5\%=0.05$，表示这批药品的酒精含量符合规定。
    • 备择假设 $H_1$：$\mu \mu \neq \mu_0$，表示这批药品的酒精含量不符合规定。
      2 确定检验统计量及其分布：
    • 已知总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2 = 0.0016$，则 $\sigma=\sqrt{0.0016} = 0.04$，样本容量 $n = 10$。
    • 当 $H_0$ 成立时，检验统计量为 $Z=\frac{\overline{X\}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\{X\} - 0.05}{0.04/\sqrt{10}}\sim N(0,1)$，其中 $\{X\}$ 为样本均值。
      3 确定拒绝域：
    • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，对于双侧检验，取临界值 $z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
    • 使得 $P\{|Z|\geqslant z_{\alpha/2}\}=\alpha$，即 $P\{Z\geqslant 1.96\}+P\{Z\leqslant - 1.96\}=0.05$。
    • 所以 $H_0$ 的拒绝域为 $W'=(-\infty,-1.96)\cup(1.96,+\infty)$，接受域为 $\overline{W}=(-1.96,1.96)$。
      4 计算样本统计量的值：
    • 首先计算样本均值 $\{X\}$，$\{X\}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，其中 $x_i$分别为 $5.01,4.87,5.11,5.21,5.03,4.96,4.78,4.98,4.88,5.06$。
    • $\sum_{i = 1}^{10}x_i=5.01 + 4.87+5.11+5.21+5.03+4.96+4.78+4.98+4.88+5.06 = 4.989$。
    • 则 $\{X\}=\frac{49.89}{10}=4.989$。
    • 计算统计量 $z$ 的值：$z=\frac{\{X\} - 0.05}{0.04/\sqrt{10}}=\frac{4.989 - 0.05}{0.04/\sqrt{10}}\approx0.0087$。
      5 做出推断：
    • 由于 $z = 0.0087\in\overline{W}=(-1.96,1.96)$，即样本统计量的值落在接受域内。
    • 所以不拒绝原假设 $H_0$，认为这批药品是合格的。