题目

设总体X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n是来自X sim N(mu, sigma^2)的样本，则overline(X)的概率密度函数是(). A. f_(overline{X)}(overline(x))= (1)/(sqrt(2pi)(sigma)/(sqrt(n))) e^-((overline(x-mu)^2)/(2(frac{sigma){sqrt(n)))^2}}B. f_(overline{X)}(overline(x))= (1)/(sqrt(2pi)sigma) e^-((overline(x-mu)^2)/(2sigma^2))C. f_(overline{X)}(overline(x))= (1)/(sqrt(2pi)) e^-((overline(x-mu)^2)/(2))D. f_(overline{X)}(overline(x))= (1)/(sqrt(2pi)) e^-(overline(x^2)/(2))

设总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，则$\overline{X}$的概率密度函数是().

  • A. $f_{\overline{X}}(\overline{x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2(\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^2}}$
  • B. $f_{\overline{X}}(\overline{x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  • C. $f_{\overline{X}}(\overline{x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2}}$
  • D. $f_{\overline{X}}(\overline{x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\overline{x}^2}{2}}$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要确定样本均值 $\overline{X}$ 的概率密度函数，其中 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。 样本均值 $\overline{X}$ 定义为： \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 由于 $X_i$ 是独立同分布的正态随机变量，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。这是正态分布的一个众所周知的性质。 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数由下式给出： \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] 对于样本均值 $\overline{X}$，均值是 $\mu$，方差是 $\frac{\sigma^2}{n}$。因此，$\overline{X}$ 的概率密度函数为： \[ f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \frac{\sigma^2}{n}}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \] 简化表达式，我们得到： \[ f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2}} = \frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2}} \] 这与选项 A 相匹配： \[ f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2}} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查正态分布样本均值的概率密度函数。解题思路如下：

  1. 首先明确样本均值$\overline{X}$的定义：对于来自总体$X$的样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
  2. 然后根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$且相互独立，那么样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，且$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，其中$\mu$是总体均值，$\frac{\sigma^2}{n}$是样本均值的方差。
  3. 最后根据正态分布的概率密度函数公式：若随机变量$Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$，则其概率密度函数为$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_Y^2}}e^{-\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$。对于$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，这里$\mu_Y=\mu$，$\sigma_Y^2=\frac{\sigma^2}{n}$，将其代入公式可得：
    • 先将$\sigma_Y^2=\frac{\sigma^2}{n}$代入$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_Y^2}}$，得到$\frac{1}{\sqrt{2\pi\times\frac{\sigma^2}{n}}}=\frac{1}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{2\pi}}$。
    • 再将$\mu_Y=\mu$和$\sigma_Y^2=\frac{\sigma^2}{n}$代入$e^{-\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$，得到$e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2\times\frac{\sigma^2}{n}}}=e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2(\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^2}}$。
    • 所以$\overline{X}$的概率密度函数$f_{\overline{X}}(\overline{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}e^{-\frac{(\overline{x}-\mu)^2}{2(\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^2}}$。