五、应用题（本大题共1小题，共10分）23、检验员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒钟，假定每个产品需要重复检查的概率为1/2，求在8小时内检验员检查的产品多于1900个的概率是多少？（用中心极限定理求解，用标准正态分布函数Φ（ ）表示最后结果）（10分）

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及随机变量的期望与方差计算，以及正态分布近似求解概率问题。

解题核心思路：

1. 确定单个产品检查时间的分布：每个产品检查时间可能为10秒或20秒，概率各为1/2。
2. 计算总时间的期望与方差：通过线性性质求和。
3. 应用中心极限定理：将总时间近似为正态分布，转化为标准正态分布求解概率。

破题关键点：

• 正确计算单个时间变量的期望与方差。
• 总时间的期望与方差的线性叠加。
• 标准化处理：将实际问题转化为标准正态分布函数的形式。

单个产品检查时间分析

设第 $i$ 个产品检查时间为 $X_i$，则：

• $X_i = 10$ 秒（无需重复检查），概率为 $\frac{1}{2}$；
• $X_i = 20$ 秒（需重复检查），概率为 $\frac{1}{2}$。

期望计算：
$E(X_i) = 10 \cdot \frac{1}{2} + 20 \cdot \frac{1}{2} = 15 \ \text{秒}.$

方差计算：
$\begin{aligned}D(X_i) &= E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 \\&= \left(10^2 \cdot \frac{1}{2} + 20^2 \cdot \frac{1}{2}\right) - 15^2 \\&= \frac{100 + 400}{2} - 225 = 250 - 225 = 25 \ \text{秒}^2.\end{aligned}$

总时间分析

设检查 $1900$ 个产品的总时间为 $S = \sum_{i=1}^{1900} X_i$，则：

• 期望：
  $E(S) = 1900 \cdot E(X_i) = 1900 \cdot 15 = 28500 \ \text{秒}.$
• 方差：
  $D(S) = 1900 \cdot D(X_i) = 1900 \cdot 25 = 47500 \ \text{秒}^2.$

应用中心极限定理

8 小时对应总时间 $28800$ 秒，需计算 $P(S \leq 28800)$。根据中心极限定理，$S$ 近似服从正态分布：
$P(S \leq 28800) \approx \Phi\left(\frac{28800 - 28500}{\sqrt{47500}}\right).$

标准化计算：
$\frac{28800 - 28500}{\sqrt{47500}} = \frac{300}{\sqrt{25 \cdot 1900}} = \frac{300}{5\sqrt{1900}} = \frac{60}{\sqrt{100 \cdot 19}} = \frac{6}{\sqrt{19}}.$