例9（2022，数一，5分）设随机变量X~N(0,1)，在X=x条件下随机变量Y~N(x,1)，则X与Y的相关系数为（）.A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (sqrt(3))/(3)D. (sqrt(2))/(2)

本题考查的知识点为随机变量的相关系数计算，解题思路是先根据已知条件求出$E(X)$、$E(Y)$、$D(X)$、$D(Y)$以及$Cov(X,Y)$，再利用相关系数的公式$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$计算$X$与$Y$的相关系数。

步骤一：求$E(X)$和$D(X)$

已知随机变量$X\sim N(0,1)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的期望$E(X)=\mu$，方差$D(X)=\sigma^2$，可得$E(X)=0$，$D(X)=1$。

步骤二：求$E(Y)$

根据全期望公式$E(Y)=E[E(Y|X)]$，已知在$X = x$条件下随机变量$Y\sim N(x,1)$，则$E(Y|X)=X$，所以$E(Y)=E[E(Y|X)] = E(X)=0$。

步骤三：求$D(Y)$

根据方差的性质$D(Y)=E[D(Y|X)] + D[E(Y|X)]$。

• 因为在$X = x$条件下随机变量$Y\sim N(x,1)$，所以$D(Y|X)=1$，则$E[D(Y|X)] = E(1)=1$。
• 又因为$E(Y|X)=X$，所以$D[E(Y|X)] = D(X)=1$。
  将上述结果代入方差公式可得$D(Y)=1 + 1 = 2$。

步骤四：求$Cov(X,Y)$

根据协方差的性质$Cov(X,Y)=E[Cov(X,Y|X)] + Cov[E(X),E(Y|X)]$。

• 因为$Cov(X,Y|X)=X\cdot E(Y|X)-E(X)\cdot E(Y|X)=X\cdot X - X\cdot X = 0$，所以$E[Cov(X,Y|X)] = E(0)=0$。
• 又因为$E(X)=0$，$E(Y|X)=X$，所以$Cov[E(X),E(Y|X)] = Cov(0,X)=0$。
  再根据$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，以及$E(XY)=E[E(XY|X)] = E[X\cdot E(Y|X)] = E(X^2)$。
  由$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，可得$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2 = 1 + 0^2 = 1$，所以$Cov(X,Y)=E(X^2)-E(X)E(Y)=1 - 0\times0 = 1$。

步骤五：求$X$与$Y$的相关系数$\rho_{XY}$

将$Cov(X,Y)=1$，$D(X)=1$，$D(Y)=2$代入相关系数公式$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，可得$\rho_{XY}=\frac{1}{\sqrt{1\times2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。