某工厂采用新法处理废水,对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度,得到10个数据:22,14,17,13,21,16,15,16,19,18. (单位:mg/L)而以往用老方法处理废水后,该种有毒物质的平均浓度为19. 问新方法是否比老法效果好?假设检验水平alpha =0.05,有毒物质浓度alpha =0.05,(alpha =0.05,)

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断新方法处理废水后的有毒物质平均浓度是否显著低于老方法的平均浓度（19 mg/L）。

解题核心思路：

1. 建立假设：原假设$H_0$表示新方法的平均浓度不低于19 mg/L，备择假设$H_1$表示新方法的平均浓度低于19 mg/L。
2. 选择检验统计量：由于总体方差未知且样本量小（$n=10$），采用t检验统计量。
3. 确定拒绝域：根据显著性水平$\alpha=0.05$和自由度$n-1=9$，查找左侧临界值$t_{1-\alpha}(9)$。
4. 计算检验统计量：通过样本均值、样本标准差计算t值，并与临界值比较，判断是否拒绝原假设。

破题关键点：

• 单边检验方向：明确检验类型为左侧检验（备择假设为$\mu < 19$）。
• 临界值符号：左侧检验的临界值为负数（$-t_{0.05}(9) = -1.8331$）。

建立假设

• 原假设：$H_0: \mu \geqslant 19$（新方法不优于老方法）
• 备择假设：$H_1: \mu < 19$（新方法优于老方法）

选择检验统计量

在$H_0$成立时，检验统计量服从自由度为$9$的t分布：
$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t(9)$

确定拒绝域

左侧检验的拒绝域为：
$W_\alpha = \{ T < t_{1-\alpha}(n-1) \} = \{ T < -1.8331 \}$

计算检验统计量

1. 样本均值：
   $\overline{x} = \frac{22 + 14 + 17 + 13 + 21 + 16 + 15 + 16 + 19 + 18}{10} = 17.1$

2. 样本方差：
   $s^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \overline{x})^2 = 8.544, \quad s = \sqrt{8.544} \approx 2.923$

3. t值计算：
   $T = \frac{17.1 - 19}{2.923/\sqrt{10}} = \frac{-1.9}{0.924} \approx -2.06$

结论

$t = -2.06 < -1.8331$，落入拒绝域，拒绝$H_0$，认为新方法的平均浓度显著低于19 mg/L。