题目
3.[填空题]设随机变量Xsim N(1,4)，Ysim B(100,0.8)，且rho(X,Y)=0.1，则D(2X-3Y)=___. (请用小数作答)
3.[填空题]设随机变量
$X\sim N(1,4)$，$Y\sim B(100,0.8)$，且
$\rho(X,Y)=0.1$，则$D(2X-3Y)=___$.
(请用小数作答)
题目解答
答案
为了求解 $D(2X-3Y)$，我们需要使用随机变量线性组合的方差公式。对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的线性组合 $aX + bY$ 的方差为：
\[D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \text{Cov}(X, Y)\]
其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，可以表示为：
\[\text{Cov}(X, Y) = \rho(X, Y) \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}\]
在本题中，我们有 $a = 2$，$b = -3$，$X \sim N(1, 4)$，$Y \sim B(100, 0.8)$，以及 $\rho(X, Y) = 0.1$。首先，我们需要求出 $D(X)$ 和 $D(Y)$。
对于正态分布 $X \sim N(1, 4)$，方差 $D(X) = 4$。
对于二项分布 $Y \sim B(100, 0.8)$，方差 $D(Y) = np(1-p) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16$。
接下来，我们计算协方差 $\text{Cov}(X, Y)$：
\[\text{Cov}(X, Y) = \rho(X, Y) \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = 0.1 \times \sqrt{4} \times \sqrt{16} = 0.1 \times 2 \times 4 = 0.8\]
现在，我们可以使用方差公式求 $D(2X - 3Y)$：
\[D(2X - 3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2 \times 2 \times (-3) \times \text{Cov}(X, Y)\]
\[D(2X - 3Y) = 4 \times 4 + 9 \times 16 + 2 \times 2 \times (-3) \times 0.8\]
\[D(2X - 3Y) = 16 + 144 - 9.6\]
\[D(2X - 3Y) = 150.4\]
因此，答案是：
\[\boxed{150.4}\]
解析
考查要点：本题主要考查随机变量线性组合的方差计算，涉及正态分布和二项分布的方差公式，以及协方差与相关系数的关系。
解题核心思路：
- 确定方差公式：对于线性组合 $aX + bY$，方差公式为 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$。
- 计算各部分方差：根据分布类型分别求出 $D(X)$ 和 $D(Y)$。
- 计算协方差：利用相关系数 $\rho(X,Y)$ 与方差的关系 $\text{Cov}(X,Y) = \rho(X,Y)\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$。
- 代入公式求解：将所有已知量代入方差公式，注意符号和系数的平方。
破题关键点：
- 正态分布的方差：$X \sim N(1,4)$ 中的第二个参数即为方差 $D(X)=4$。
- 二项分布的方差：$Y \sim B(100,0.8)$ 的方差为 $np(1-p)=100 \times 0.8 \times 0.2=16$。
- 协方差的计算：需注意相关系数与标准差的乘积关系。
步骤1：计算方差 $D(X)$ 和 $D(Y)$
- 正态分布 $X \sim N(1,4)$：方差直接给出为 $D(X) = 4$。
- 二项分布 $Y \sim B(100,0.8)$：方差为 $D(Y) = np(1-p) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16$。
步骤2：计算协方差 $\text{Cov}(X,Y)$
根据相关系数与协方差的关系：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho(X,Y) \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = 0.1 \times \sqrt{4} \times \sqrt{16} = 0.1 \times 2 \times 4 = 0.8$
步骤3：代入方差公式
对于 $2X - 3Y$，系数 $a=2$，$b=-3$，代入公式：
$\begin{aligned}D(2X - 3Y) &= 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) + 2 \times 2 \times (-3) \times \text{Cov}(X,Y) \\&= 4 \times 4 + 9 \times 16 + 2 \times 2 \times (-3) \times 0.8 \\&= 16 + 144 - 9.6 \\&= 150.4\end{aligned}$