题目

请问常数 a, b 为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？当有无穷多组解时，请求出其通解.[}x_1 + x_2 = 2 x_1 - x_4 = 1 x_3 = 1 -x_3 + ax_4 = b-1](1) 当 a=0, bneq0 时，R(A)=3, R(overline(A))=4，线性方程组无解；(2) 当 aneq0 时，R(A)=R(overline(A))=4，线性方程组有唯一解；(3) 当 a=b=0 时，R(A)=R(overline(A))=3<4，线性方程组有无穷组解；原方程的通解为 } x_1 x_2 x_3 x_4 ，k in RA 对B 错

请问常数 $a, b$ 为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？当有无穷多组解时，请求出其通解. $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - x_4 = 1 \\ x_3 = 1 \\ -x_3 + ax_4 = b-1 \end{cases}$ (1) 当 $a=0, b\neq0$ 时，$R(A)=3, R(\overline{A})=4$，线性方程组无解； (2) 当 $a\neq0$ 时，$R(A)=R(\overline{A})=4$，线性方程组有唯一解； (3) 当 $a=b=0$ 时，$R(A)=R(\overline{A})=3<4$，线性方程组有无穷组解； 原方程的通解为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = k \xi + \eta = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$k \in R$ A 对 B 错

题目解答

答案

将方程组化简为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2 \\x_1 - x_4 = 1 \\x_3 = 1 \\ax_4 = b\end{cases}$

情况分析：

  1. 当 $a = 0$ 时：

    • 若 $b \neq 0$，则 $0 = b$ 矛盾，方程组无解。此时 $R(A) = 3$，$R(\overline{A}) = 4$。
    • 若 $b = 0$，则 $x_4$ 为自由变量，方程组有无穷多解。通解为：
      $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (k \in \mathbb{R})$
      此时 $R(A) = R(\overline{A}) = 3 < 4$。

  2. 当 $a \neq 0$ 时：

    • $x_4 = \frac{b}{a}$，方程组有唯一解。此时 $R(A) = R(\overline{A}) = 4$。

题目中给出的结论与上述分析一致，因此答案为 $\boxed{A}$。