下列数列发散的是( )。(A) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ldots(B) (3)/(2), (2)/(3), (5)/(4), (4)/(5), ldots(C) f(n) = } (2^n + 1)/(2^n), & n ( 为奇数) (2^n - 1)/(2^n), & n ( 为偶数) (D) f(n) = } (n)/(n+1), & n ( 为奇数) (n)/(1-n), & n ( 为偶数)

我们来逐个分析选项，判断哪一个数列是发散的。
所谓发散数列，是指该数列不收敛，即极限不存在或趋于无穷。

(A) $0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, \ldots$

这个数列的每一项都是在小数点后多加一个9，可以写成：

$a_n = 1 - 10^{-n}$

例如：

• $a_1 = 1 - 0.1 = 0.9$
• $a_2 = 1 - 0.01 = 0.99$
• $a_3 = 1 - 0.001 = 0.999$，等等。

所以：
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - 10^{-n}) = 1 - 0 = 1$

极限存在，为1，因此收敛。

✅ (A) 收敛

(B) $\frac{3}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$

观察数列的规律：

• 第1项：$\frac{3}{2} = 1.5$
• 第2项：$\frac{2}{3} \approx 0.666$
• 第3项：$\frac{5}{4} = 1.25$
• 第4项：$\frac{4}{5} = 0.8$
• 第5项：可能是 $\frac{7}{6} \approx 1.166$，第6项 $\frac{6}{7} \approx 0.857$，等等。

猜测规律：

• 奇数项：$\frac{2k+1}{2k}$，当 $n = 2k-1$
• 偶数项：$\frac{2k}{2k+1}$，当 $n = 2k$

更清晰地：

• 当 $n$ 为奇数（第1,3,5,...项）：分子比分母大1，且分母是偶数？
  • 第1项：$\frac{3}{2}$，$3 = 2 + 1$
  • 第3项：$\frac{5}{4}$，$5 = 4 + 1$
  • 所以奇数项是 $\frac{n+2}{n+1}$？不太统一。

换个角度：观察项的位置。

令 $n$ 为项数：

• $n=1$: $\frac{3}{2} = \frac{2+1}{2}$
• $n=2$: $\frac{2}{3} = \frac{2}{2+1}$
• $n=3$: $\frac{5}{4} = \frac{4+1}{4}$
• $n=4$: $\frac{4}{5} = \frac{4}{4+1}$

看出规律了：

• 奇数项：$\frac{k+1}{k}$，其中 $k = n+1$？不太对。

更合理的是：

• 第 $k$ 对：第 $2k-1$ 项是 $\frac{2k+1}{2k}$，第 $2k$ 项是 $\frac{2k}{2k+1}$

验证：

• $k=1$: 第1项 $\frac{3}{2}$，第2项 $\frac{2}{3}$ ✅
• $k=2$: 第3项 $\frac{5}{4}$，第4项 $\frac{4}{5}$ ✅
• $k=3$: 第5项 $\frac{7}{6}$，第6项 $\frac{6}{7}$

所以：

• 奇数项：$a_{2k-1} = \frac{2k+1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}$
• 偶数项：$a_{2k} = \frac{2k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{2k+1}$

当 $k \to \infty$：

• 奇数项 $\to 1$
• 偶数项 $\to 1$

所以整个数列的奇数子列和偶数子列都趋于1，因此整个数列收敛于1。

✅ (B) 收敛

(C)

$f(n) = \begin{cases} \frac{2^n + 1}{2^n}, & n \text{ 为奇数} \\ \frac{2^n - 1}{2^n}, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$

化简：

• 当 $n$ 为奇数：$f(n) = 1 + \frac{1}{2^n}$
• 当 $n$ 为偶数：$f(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$

考虑极限：

• 当 $n \to \infty$，无论奇偶，$\frac{1}{2^n} \to 0$
• 所以：
  • 奇数项：$1 + \frac{1}{2^n} \to 1$
  • 偶数项：$1 - \frac{1}{2^n} \to 1$

因此两个子列都趋于1，整个数列趋于1。

✅ (C) 收敛

(D)

$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{n+1}, & n \text{ 为奇数} \\ \frac{n}{1-n}, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$

我们分别分析奇数项和偶数项的极限。

奇数项：$n$ 为奇数，$f(n) = \frac{n}{n+1}$

当 $n \to \infty$（奇数趋向无穷），

$\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \to 1$

所以奇数项趋于1。

偶数项：$n$ 为偶数，$f(n) = \frac{n}{1 - n}$

化简：
$\frac{n}{1 - n} = -\frac{n}{n - 1} = -\frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \to -1 \quad (n \to \infty)$

例如：

• $n=2$: $\frac{2}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$
• $n=4$: $\frac{4}{1-4} = \frac{4}{-3} \approx -1.333$
• $n=6$: $\frac{6}{-5} = -1.2$
• $n=10$: $\frac{10}{-9} \approx -1.111$
• $n \to \infty$: $\to -1$

所以偶数项趋于 $-1$

结论：

• 奇数子列 $\to 1$
• 偶数子列 $\to -1$

两个子列趋于不同的极限，因此整个数列没有极限，即发散。

⚠️ 注意：发散不一定趋于无穷，只要极限不存在就算发散。

✅ 最终结论：

(A)、(B)、(C) 都收敛，
(D) 发散

答案： $\boxed{\text{(D)}}$