设 Var(X) = 25，Var(Y) = 36，rho_(XY) = 0.4，求 Var(X + Y) 和 Var(X - Y).
设 $Var(X) = 25$，$Var(Y) = 36$，$\rho_{XY} = 0.4$，求 $Var(X + Y)$ 和 $Var(X - Y)$.
题目解答
答案
我们要求的是两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的和与差的方差，即：
- $ Var(X + Y) $
- $ Var(X - Y) $
已知条件：
- $ Var(X) = 25 $
- $ Var(Y) = 36 $
- $ \rho_{XY} = 0.4 $（X 和 Y 的相关系数）
第一步：利用方差公式
对于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有：
$Var(X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 \cdot Cov(X, Y)$
所以我们需要先求出协方差 $ Cov(X, Y) $。
第二步：由相关系数求协方差
相关系数公式为：
$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) \cdot Var(Y)}}$
代入已知数据：
$0.4 = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{25 \cdot 36}} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{900}} = \frac{Cov(X, Y)}{30}$
解得：
$Cov(X, Y) = 0.4 \cdot 30 = 12$
第三步：代入方差公式
1. 求 $ Var(X + Y) $
$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y) = 25 + 36 + 2 \cdot 12 = 61 + 24 = \boxed{85}$
2. 求 $ Var(X - Y) $
$Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y) = 25 + 36 - 2 \cdot 12 = 61 - 24 = \boxed{37}$
最终答案：
- $ Var(X + Y) = \boxed{85} $
- $ Var(X - Y) = \boxed{37} $
解析
本题考查随机变量和与差差的方差计算，解题的关键在于利用方差公式以及相关系数的公式，先求出协方差，再代入和与差的方差公式进行计算。
- 明确方差公式：
对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有 $Var(X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 \cdot Cov(X, Y))$，这里要求 $Var(X + Y)$ 和 $Var(X - Y)$，需要先求出协方差 $Cov(X, Y)$。 - 根据相关系数求协方差
已知相关系数公式为 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) \cdot Var(Y)}}$，将已知条件 $Var(X) = 25$，$Var(Y) = 36$，$\rho_{XY} = 0.4$ 代入可得：
$0.4 = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{25 \cdot 36}}$}})
先计算根号内的值：$\sqrt{25 \cdot 36}=\sqrt{900} = 30$
则方程变为 $0.4 = \frac{Cov(X, Y)}{30}$
两边同时乘以 $30$ 可得：$Cov(X, Y) = 0.4 \times 30 = 12$ - **计算 \(Var(X + Y)**
将 $Var(X) = 25$，$Var(Y) = 36$，$Cov(X, Y) = 12$ 代入 $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)$ 可得：
$Var(X + Y) = 25 + 36 + 2\times12$ = 61 + 24 = 85) - 计算Var(X - Y)
将 $Var(X) = 25$，$Var(Y) = 36$，\Cov(X, Y) = 12) 代入 $Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)$ 可得：
$Var(X - Y) = 25 + 36 - 2\times12 = 61 - 24 = 37$