题目
下列关于协方差的概念与性质正确的是A cov ( X , Y ) = -cov ( Y , X ) B cov ( X , Y ) = E ( XY ) + E ( X ) E ( Y ) C cov ( X , X ) = 0D Cov(Y，Y)=D(Y)
下列关于协方差的概念与性质正确的是
A cov ( X , Y ) = -cov ( Y , X )
B cov ( X , Y ) = E ( XY ) + E ( X ) E ( Y )
C cov ( X , X ) = 0
D Cov(Y，Y)=D(Y)
题目解答
答案
协方差的性质：
（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，(a，b是常数）；
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。
（4）Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。
（5）Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
故选D。
解析
步骤 1：理解协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量X和Y之间线性相关程度的统计量，其定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的期望值。
步骤 2：分析选项A
根据协方差的定义，Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，而Cov(Y, X) = E[(Y - E[Y])(X - E[X])]，由于乘法的交换律，Cov(X, Y) = Cov(Y, X)，因此选项A错误。
步骤 3：分析选项B
根据协方差的定义，Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]，因此选项B错误。
步骤 4：分析选项C
根据协方差的定义，Cov(X, X) = E[(X - E[X])(X - E[X])] = E[(X - E[X])^2] = Var(X)，因此选项C错误。
步骤 5：分析选项D
根据协方差的定义，Cov(Y, Y) = E[(Y - E[Y])(Y - E[Y])] = E[(Y - E[Y])^2] = Var(Y) = D(Y)，因此选项D正确。
协方差是衡量两个随机变量X和Y之间线性相关程度的统计量，其定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的期望值。
步骤 2：分析选项A
根据协方差的定义，Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，而Cov(Y, X) = E[(Y - E[Y])(X - E[X])]，由于乘法的交换律，Cov(X, Y) = Cov(Y, X)，因此选项A错误。
步骤 3：分析选项B
根据协方差的定义，Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]，因此选项B错误。
步骤 4：分析选项C
根据协方差的定义，Cov(X, X) = E[(X - E[X])(X - E[X])] = E[(X - E[X])^2] = Var(X)，因此选项C错误。
步骤 5：分析选项D
根据协方差的定义，Cov(Y, Y) = E[(Y - E[Y])(Y - E[Y])] = E[(Y - E[Y])^2] = Var(Y) = D(Y)，因此选项D正确。