题目

(4)设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)是取自正态总体N(mu,sigma^2)中的一个样本，其中mu已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?(a)X_(1)+X_(2)+X_(3)+X_(4); (b)(1)/(sigma^2)sum_(i=1)^4(X_(i)-mu)^2;(c)maxX_{1),X_(2)}; (d)X_(4)+mu;(e)(1)/(2)(X_(1)+X_(4)); (f)sqrt(n)(bar(X)-mu)/(sigma),其中bar(X)=(1)/(4)sum_(i=1)^4X_(i).

(4)设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$是取自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$中的一个样本，其中$\mu$已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量? (a)$X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}$; (b)$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\mu)^{2}$; (c)$\max\{X_{1},X_{2}\}$; (d)$X_{4}+\mu$; (e)$\frac{1}{2}(X_{1}+X_{4})$; (f)$\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$,其中$\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$.

题目解答

答案

统计量是样本的函数且不包含未知参数。已知 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知，分析各选项： - (a) $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$：仅含样本，是统计量。 - (b) $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \mu)^2$：含未知参数 $\sigma^2$，非统计量。 - (c) $\max\{X_1, X_2\}$：仅含样本，是统计量。 - (d) $X_4 + \mu$：含已知参数 $\mu$，是统计量。 - (e) $\frac{1}{2} (X_1 + X_4)$：仅含样本，是统计量。 - (f) $\sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$：含未知参数 $\sigma$，非统计量。答案：$\boxed{(a), (c), (d), (e)}$

解析

本题考查统计量的定义，解题的关键在于明确统计量是样本的函数且不包含未知参数。已知样本$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$取自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$已知，$\sigma^{2}$未知，下面对每个选项逐一分析：

选项 (a) $X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}$：
该随机变量仅由样本$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$构成，不包含任何未知参数，完全符合统计量的定义，所以$X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}$是统计量。
选项 (b) $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{4}(X_{i}-\mu)^{2}$：
此随机变量中包含未知参数$\sigma^{2}$，不满足统计量不包含未知参数这一条件，因此$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{4}(X_{i}-\mu)^{2}$不是统计量。
选项 (c) $\max\{X_{1},X_{2}\}$：
该随机变量是样本$X_{1},X_{2}$的函数，不涉及未知参数，符合统计量的定义，所以$\max\{X_{1},X_{2}\}$是统计量。
选项 (d) $X_{4}+\mu$：
其中$\mu$是已知参数，该随机变量仅由样本$X_{4}$和已知参数$\mu$组成，不包含未知参数，满足统计量的定义，所以$X_{4}+\mu$是统计量。
选项 (e) $\frac{1}{2}(X_{1}+X_{4})$：
该随机变量是样本$X_{1},X_{4}$的函数，不包含未知参数，符合统计量的定义，所以$\frac{1}{2}(X_{1}+X_{4})$是统计量。
选项 (f) $\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$，其中$\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i = 1}^{4}X_{i}$：
此随机变量中包含未知参数$\sigma$，不满足统计量不包含未知参数的条件，所以$\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$不是统计量。