题目
(4)设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)是取自正态总体N(mu,sigma^2)中的一个样本，其中mu已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?(a)X_(1)+X_(2)+X_(3)+X_(4); (b)(1)/(sigma^2)sum_(i=1)^4(X_(i)-mu)^2;(c)maxX_{1),X_(2)}; (d)X_(4)+mu;(e)(1)/(2)(X_(1)+X_(4)); (f)sqrt(n)(bar(X)-mu)/(sigma),其中bar(X)=(1)/(4)sum_(i=1)^4X_(i).
(4)设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$是取自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$中的一个样本，其中$\mu$已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?
(a)$X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}$; (b)$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\mu)^{2}$;
(c)$\max\{X_{1},X_{2}\}$; (d)$X_{4}+\mu$;
(e)$\frac{1}{2}(X_{1}+X_{4})$; (f)$\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$,其中$\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$.
题目解答
答案
统计量是样本的函数且不包含未知参数。已知 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知，分析各选项：
- (a) $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$：仅含样本，是统计量。
- (b) $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{4} (X_i - \mu)^2$：含未知参数 $\sigma^2$，非统计量。
- (c) $\max\{X_1, X_2\}$：仅含样本，是统计量。
- (d) $X_4 + \mu$：含已知参数 $\mu$，是统计量。
- (e) $\frac{1}{2} (X_1 + X_4)$：仅含样本，是统计量。
- (f) $\sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$：含未知参数 $\sigma$，非统计量。
答案：$\boxed{(a), (c), (d), (e)}$