题目

有5盒种子，其中1盒发芽率为0.9，其余的为0.3，从中随机取1盒，（1）拿里面的1粒种子进行种植，其能发芽的概率是______；（2）若该种子能发芽，则它来自发芽率高的那盒的概率是______。（答案都用小数表示，第2小问保留小数点后3位！）第一空:0.42第二空:0.429

有5盒种子，其中1盒发芽率为0.9，其余的为0.3，从中随机取1盒，（1）拿里面的1粒种子进行种植，其能发芽的概率是______；（2）若该种子能发芽，则它来自发芽率高的那盒的概率是______。（答案都用小数表示，第2小问保留小数点后3位！） 第一空: 0.42 第二空: 0.429

题目解答

答案

(1) 计算种子能发芽的概率
有5盒种子，其中1盒发芽率0.9，其余4盒发芽率0.3。随机取一盒，种子能发芽的概率为：
$P(\text{发芽}) = \frac{1}{5} \times 0.9 + \frac{4}{5} \times 0.3 = 0.18 + 0.24 = 0.42$
答案： 0.42

(2) 计算种子来自高发芽率盒的概率
用贝叶斯定理，种子能发芽且来自高发芽率盒的概率为：
$P(\text{高发芽率盒} \mid \text{发芽}) = \frac{P(\text{高发芽率盒}) \times P(\text{发芽} \mid \text{高发芽率盒})}{P(\text{发芽})} = \frac{\frac{1}{5} \times 0.9}{0.42} = \frac{0.18}{0.42} \approx 0.429$
答案： 0.429

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } 0.42 \\\text{(2) } 0.429 \\\end{array}}$

解析

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题思路：

  1. 第（1）问：计算种子能发芽的总概率。需分情况讨论：种子来自高发芽率盒子或低发芽率盒子的概率，再结合各自的发芽率，用全概率公式求和。
  2. 第（2）问：已知种子发芽，求它来自高发芽率盒子的概率。需用贝叶斯定理，结合第（1）问的结果计算后验概率。

破题关键：

  • 明确区分“先选盒子再选种子”这一隐含条件。
  • 第（2）问中，分母是第（1）问的总概率，分子是高发芽率盒子的贡献概率。

第（1）题

步骤1：确定选择盒子的概率

  • 高发芽率盒子的概率：$\frac{1}{5}$，低发芽率盒子的概率：$\frac{4}{5}$。

步骤2：计算各情况下的发芽概率

  • 高发芽率盒子的发芽贡献：$\frac{1}{5} \times 0.9 = 0.18$。
  • 低发芽率盒子的发芽贡献：$\frac{4}{5} \times 0.3 = 0.24$。

步骤3：总概率求和

  • 总发芽概率：$0.18 + 0.24 = 0.42$。

第（2）题

步骤1：明确贝叶斯定理公式

$P(\text{高发芽率盒} \mid \text{发芽}) = \frac{P(\text{高发芽率盒}) \cdot P(\text{发芽} \mid \text{高发芽率盒})}{P(\text{发芽})}$

步骤2：代入已知数值

  • 分子：$\frac{1}{5} \times 0.9 = 0.18$。
  • 分母：第（1）问结果 $0.42$。

步骤3：计算后验概率

$\frac{0.18}{0.42} \approx 0.429$