题目
设D=|(1)&(-1)&(0)&(2)1)&(0)&(4)&(1)2)&(0)&(3)&(0)1)&(2)&(3)&(4)|，求A41+A42+A43+A44，其中A4j（j=1，2，3，4）为元素a4j的代数余子式．
设D=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{2}&{3}&{4}\end{array}|$，求A41+A42+A43+A44，其中A4j（j=1，2，3，4）为元素a4j的代数余子式．
题目解答
答案
解：A41+A42+A43+A44=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}&{3}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{2}&{1}&{3}\\{1}&{4}&{1}\\{2}&{3}&{0}\end{array}|$
=2×$|\begin{array}{l}{1}&{3}\\{4}&{1}\end{array}|$-3$|\begin{array}{l}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{array}|$=2×（1-3×4）-3×（2×1-3×1）=-19，
故A41+A42+A43+A44=-19．
=2×$|\begin{array}{l}{1}&{3}\\{4}&{1}\end{array}|$-3$|\begin{array}{l}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{array}|$=2×（1-3×4）-3×（2×1-3×1）=-19，
故A41+A42+A43+A44=-19．
解析
步骤 1：理解代数余子式的定义
代数余子式A_{ij}是矩阵中元素a_{ij}的余子式M_{ij}乘以(-1)^{i+j}。余子式M_{ij}是去掉第i行和第j列后剩余矩阵的行列式。
步骤 2：计算A_41+A_42+A_43+A_44
根据代数余子式的定义，A_41+A_42+A_43+A_44等于将第4行的元素替换为1，然后计算行列式的值。
步骤 3：计算行列式的值
将第4行的元素替换为1，得到新的行列式$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$，然后计算其值。
步骤 4：简化行列式
通过行变换简化行列式，得到$|\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}&{3}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$，然后进一步简化为$|\begin{array}{l}{2}&{1}&{3}\\{1}&{4}&{1}\\{2}&{3}&{0}\end{array}|$。
步骤 5：计算简化后的行列式的值
计算简化后的行列式的值，得到-19。
代数余子式A_{ij}是矩阵中元素a_{ij}的余子式M_{ij}乘以(-1)^{i+j}。余子式M_{ij}是去掉第i行和第j列后剩余矩阵的行列式。
步骤 2：计算A_41+A_42+A_43+A_44
根据代数余子式的定义，A_41+A_42+A_43+A_44等于将第4行的元素替换为1，然后计算行列式的值。
步骤 3：计算行列式的值
将第4行的元素替换为1，得到新的行列式$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{0}&{2}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$，然后计算其值。
步骤 4：简化行列式
通过行变换简化行列式，得到$|\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}&{3}\\{1}&{0}&{4}&{1}\\{2}&{0}&{3}&{0}\\{1}&{1}&{1}&{1}\end{array}|$，然后进一步简化为$|\begin{array}{l}{2}&{1}&{3}\\{1}&{4}&{1}\\{2}&{3}&{0}\end{array}|$。
步骤 5：计算简化后的行列式的值
计算简化后的行列式的值，得到-19。