题目
【题目】有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以g计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间
【题目】有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以g计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间
题目解答
答案
【解析】解这里 1-α=0.95 , α/2=0.025 ,n-1=15, t_(0.025)(15)=2.1315 ,由给出的数据算得 x=503.75 ,s=6.2022.由(5.4)式得均值的一个置信水平为0.95的置信区间为(503,75±(6.2022)/(√(16))*2.1315) 即(500.4,507.1)这就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4g与507.1g之间,这个估计的可信程度为95%.若以此区间内任一值作为的近似值,其误差不大于(6.2022)/(√(16))*2.1315×2=6.61(g),这个误差估计的可信程度为95%
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算16袋糖果的平均重量。样本均值计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\(n=16\)，\(x_i\)为每袋糖果的重量。将数据代入公式计算得：
\[ \bar{x} = \frac{506+508+499+503+504+510+497+512+514+505+493+496+506+502+509+496}{16} = 503.75 \]
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差计算公式为：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]
将数据代入公式计算得：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16} (x_i - 503.75)^2} = 6.2022 \]
步骤 3：确定置信区间
置信水平为0.95，自由度\(n-1=15\)，查t分布表得\(t_{0.025}(15)=2.1315\)。总体均值的置信区间计算公式为：
\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \]
代入计算得：
\[ 503.75 \pm 2.1315 \times \frac{6.2022}{\sqrt{16}} \]
\[ = 503.75 \pm 3.33 \]
\[ = (500.42, 507.08) \]
根据题目给出的数据，计算16袋糖果的平均重量。样本均值计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\(n=16\)，\(x_i\)为每袋糖果的重量。将数据代入公式计算得：
\[ \bar{x} = \frac{506+508+499+503+504+510+497+512+514+505+493+496+506+502+509+496}{16} = 503.75 \]
步骤 2：计算样本标准差
样本标准差计算公式为：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]
将数据代入公式计算得：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16} (x_i - 503.75)^2} = 6.2022 \]
步骤 3：确定置信区间
置信水平为0.95，自由度\(n-1=15\)，查t分布表得\(t_{0.025}(15)=2.1315\)。总体均值的置信区间计算公式为：
\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \]
代入计算得：
\[ 503.75 \pm 2.1315 \times \frac{6.2022}{\sqrt{16}} \]
\[ = 503.75 \pm 3.33 \]
\[ = (500.42, 507.08) \]