题目
若随机变量 X sim N(0,1)，则 Y = 3X - 2 simA. N(-4,3)B. N(-4,3^2)C. N(-2,3)D. N(-2,3^2)
若随机变量 $X \sim N(0,1)$，则 $Y = 3X - 2 \sim$
A. $N(-4,3)$
B. $N(-4,3^2)$
C. $N(-2,3)$
D. $N(-2,3^2)$
题目解答
答案
D. $N(-2,3^2)$
解析
步骤 1：确定 $X$ 的分布参数
已知 $X \sim N(0,1)$，即 $X$ 服从均值为 $0$，方差为 $1$ 的正态分布。
步骤 2：应用线性变换的性质
根据正态分布的性质，如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = aX + b$ 服从 $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$ 的正态分布。这里，$a = 3$，$b = -2$，$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$。
步骤 3：计算 $Y$ 的均值和方差
- $Y$ 的均值为 $a\mu + b = 3 \cdot 0 + (-2) = -2$。
- $Y$ 的方差为 $a^2\sigma^2 = 3^2 \cdot 1 = 9$。
步骤 4：确定 $Y$ 的分布
根据上述计算，$Y$ 服从 $N(-2, 9)$ 的正态分布，即 $N(-2, 3^2)$。
已知 $X \sim N(0,1)$，即 $X$ 服从均值为 $0$，方差为 $1$ 的正态分布。
步骤 2：应用线性变换的性质
根据正态分布的性质，如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = aX + b$ 服从 $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$ 的正态分布。这里，$a = 3$，$b = -2$，$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$。
步骤 3：计算 $Y$ 的均值和方差
- $Y$ 的均值为 $a\mu + b = 3 \cdot 0 + (-2) = -2$。
- $Y$ 的方差为 $a^2\sigma^2 = 3^2 \cdot 1 = 9$。
步骤 4：确定 $Y$ 的分布
根据上述计算，$Y$ 服从 $N(-2, 9)$ 的正态分布，即 $N(-2, 3^2)$。