题目
5.解下列矩阵方程(X为未知矩阵):-|||-1 0 1-|||-(3) =(A)^2+X-E, 其中A= 0 2 0-|||-1 0 1
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程变形
给定方程为 $AX={A}^{2}+X-E$，我们首先将方程变形为 $(A-E)X={A}^{2}-E$。这样做的目的是将未知矩阵X单独放在方程的一边，以便于后续求解。
步骤 2：计算 $A-E$ 和 ${A}^{2}-E$
计算 $A-E$，其中 $E$ 是单位矩阵，即 $E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，$A-E=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
计算 ${A}^{2}-E$，首先计算 ${A}^{2}$，然后减去单位矩阵 $E$。${A}^{2}=\left (\begin{matrix} 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \times \left (\begin{matrix} 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.$，因此 ${A}^{2}-E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：求解X
由于 $A-E$ 是初等矩阵，故可逆。因此，我们可以通过 $(A-E)^{-1}$ 来求解X。即 $X=(A-E)^{-1}({A}^{2}-E)$。由于 $A-E$ 是初等矩阵，其逆矩阵容易求得，为 $A+E$。因此，$X=A+E$。
给定方程为 $AX={A}^{2}+X-E$，我们首先将方程变形为 $(A-E)X={A}^{2}-E$。这样做的目的是将未知矩阵X单独放在方程的一边，以便于后续求解。
步骤 2：计算 $A-E$ 和 ${A}^{2}-E$
计算 $A-E$，其中 $E$ 是单位矩阵，即 $E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，$A-E=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
计算 ${A}^{2}-E$，首先计算 ${A}^{2}$，然后减去单位矩阵 $E$。${A}^{2}=\left (\begin{matrix} 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} ) \right. \times \left (\begin{matrix} 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.$，因此 ${A}^{2}-E=\left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：求解X
由于 $A-E$ 是初等矩阵，故可逆。因此，我们可以通过 $(A-E)^{-1}$ 来求解X。即 $X=(A-E)^{-1}({A}^{2}-E)$。由于 $A-E$ 是初等矩阵，其逆矩阵容易求得，为 $A+E$。因此，$X=A+E$。