[填空题,10分] 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

考查要点：本题主要考查相关系数的计算以及随机变量间的关系，需要理解两个变量之间的线性相关程度。

解题核心思路：

1. 明确X和Y的关系：由于每次抛硬币的结果只能是正面或反面，因此X + Y = n（总次数固定）。
2. 利用协方差公式和方差公式，结合二项分布的性质，推导相关系数。
3. 关键点在于发现Y = n - X，从而简化协方差的计算。

破题关键：

• 完全负相关：X和Y的和固定，导致它们的变化方向相反，相关系数为-1。

步骤1：建立变量关系

由题意，每次抛硬币的结果只能是正面或反面，因此总次数满足：
$X + Y = n$
即 Y = n - X。

步骤2：计算协方差

协方差公式为：
$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, n - X) = -\text{Cov}(X, X) = -\text{Var}(X)$
其中，$\text{Var}(X)$为X的方差。

步骤3：计算方差

X服从二项分布$B(n, p)$（假设正面概率为$p$），方差为：
$\text{Var}(X) = n p (1 - p)$
同理，$\text{Var}(Y) = \text{Var}(n - X) = \text{Var}(X) = n p (1 - p)$。

步骤4：计算相关系数

相关系数公式为：
$\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \sqrt{\text{Var}(Y)}} = \frac{-n p (1 - p)}{\sqrt{n p (1 - p)} \cdot \sqrt{n p (1 - p)}} = \frac{-n p (1 - p)}{n p (1 - p)} = -1$

结论：无论硬币是否公平（即$p$的值如何），X和Y的相关系数均为-1。