题目

设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的一个样本，bar(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，则参数σ未知时μ的置信度为1-α的置信区间是(bar(X)pm(sigma)/(sqrt(n))z_(alpha/2))。A. 正确B. 错误

设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则参数σ未知时μ的置信度为1-α的置信区间是($\bar{X}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}$)。

A. 正确

B. 错误

题目解答

答案

B. 错误

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值μ在总体方差σ²未知时的置信区间构造方法，以及对z分布与t分布适用条件的理解。

解题核心思路：
当总体方差σ²未知时，需用样本方差$S^2$代替σ²，并改用t分布构造置信区间。若题目中仍使用σ和z分布，则属于错误。

破题关键点：

  1. σ未知时，必须用样本标准差S；
  2. 自由度为n-1的t分布分位数$t_{\alpha/2}(n-1)$代替z分位数。

题目给出的置信区间公式为：
$\bar{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}$
关键错误分析：

  1. σ未知时，无法直接使用σ：此时σ需要用样本标准差$S$估计，因此公式中的$\sigma$应替换为$S$。
  2. 错误使用z分布：当σ未知时，样本均值的标准化统计量服从$t(n-1)$分布，而非标准正态分布，因此应使用$t_{\alpha/2}(n-1)$代替$z_{\alpha/2}$。

正确公式：
$\bar{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)$