题目
设总体的密度函数为，其中是未知函数，则的极大似然估计量为
设总体
的密度函数为
，其中
是未知函数，则的极大似然估计量为
题目解答
答案
选
.
设总体的概率函数为
其中
是一个未知参数或几个未知参数组成的向量，
是参数空间，
是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用
表示，简记为
,
称为样本的似然函数。如果某统计量
满足
则称
是的最大似然估计，简记为MLE。
最大似然估计法的关键在于写出似然函数
,总体
的概率密度函数为
则
取对数，得
令
解得
故的极大似然估计量为
，即选。
解析
步骤 1：写出似然函数
给定总体的密度函数为$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \lambda {e}^{-\lambda x},x\gt 0\\ 0,0\leqslant x\end{matrix} \right.$，其中$\lambda$是未知参数。设${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$是来自该总体的样本，则样本的似然函数为：
$L(\lambda )=L({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n},\lambda )=\prod _{i=1}^{n}f({X}_{i},\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}}$
步骤 2：取对数似然函数
取对数似然函数，得到：
$\ln L(\lambda )=\ln (\prod _{i=1}^{n}\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}})=\sum _{i=1}^{n}\ln (\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}})=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$
步骤 3：求导并求极大似然估计量
对$\ln L(\lambda )$关于$\lambda$求导，得到：
$\dfrac {d\ln L(\lambda )}{d\lambda }=\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$
令导数等于0，得到：
$\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=0$
解得：
$\lambda =\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}}=\dfrac {1}{\overline {X}}$
给定总体的密度函数为$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \lambda {e}^{-\lambda x},x\gt 0\\ 0,0\leqslant x\end{matrix} \right.$，其中$\lambda$是未知参数。设${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$是来自该总体的样本，则样本的似然函数为：
$L(\lambda )=L({X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n},\lambda )=\prod _{i=1}^{n}f({X}_{i},\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}}$
步骤 2：取对数似然函数
取对数似然函数，得到：
$\ln L(\lambda )=\ln (\prod _{i=1}^{n}\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}})=\sum _{i=1}^{n}\ln (\lambda {e}^{-\lambda {X}_{i}})=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$
步骤 3：求导并求极大似然估计量
对$\ln L(\lambda )$关于$\lambda$求导，得到：
$\dfrac {d\ln L(\lambda )}{d\lambda }=\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$
令导数等于0，得到：
$\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=0$
解得：
$\lambda =\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}}=\dfrac {1}{\overline {X}}$