题目
假设测量的随机误差approx N(0,(10)^2),试求100次独立重复测量中,至少有3次测量误差的绝对值大于19. 6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
假设测量的随机误差
,试求100次独立重复测量中,至少有3次测量误差的绝对值大于19. 6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
题目解答
答案
解：设p为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率。
设
为100次独立重复测量中事件
出现的次数，服从参数为n=100，p=0.05的二项分布，所求概率为
由泊松定理知近似服从参数
的泊松分布，故
解析
步骤 1：计算单次测量误差绝对值大于19.6的概率
根据题目，随机误差$X\sim N(0,{10}^{2})$，即$X$服从均值为0，方差为100的正态分布。要计算单次测量误差绝对值大于19.6的概率，即$P\{|X|>19.6\}$，可以转换为$P\{\frac{|X|}{10}>1.96\}$，因为$X$服从标准正态分布$N(0,1)$时，$P\{Z>1.96\}=0.025$，所以$P\{|X|>19.6\}=2\times0.025=0.05$。
步骤 2：计算100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率
设$\mu$为100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数，$\mu$服从参数为$n=100$，$p=0.05$的二项分布。所求概率为$P\{\mu\geqslant3\}=1-P\{\mu<3\}$，即$1-P\{\mu=0\}-P\{\mu=1\}-P\{\mu=2\}$。根据二项分布的概率公式，$P\{\mu=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，代入$n=100$，$p=0.05$，$k=0,1,2$，计算得到$P\{\mu=0\}=(1-0.05)^{100}$，$P\{\mu=1\}=100\times0.05\times(1-0.05)^{99}$，$P\{\mu=2\}=\frac{100\times99}{2}\times0.05^2\times(1-0.05)^{98}$。
步骤 3：利用泊松分布求出概率的近似值
当$n$很大，$p$很小，且$np$适中时，二项分布可以近似为参数为$\lambda=np$的泊松分布。这里$n=100$，$p=0.05$，所以$\lambda=100\times0.05=5$。所求概率的近似值为$1-P\{\mu=0\}-P\{\mu=1\}-P\{\mu=2\}$，根据泊松分布的概率公式，$P\{\mu=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，代入$\lambda=5$，$k=0,1,2$，计算得到$P\{\mu=0\}=e^{-5}$，$P\{\mu=1\}=5e^{-5}$，$P\{\mu=2\}=\frac{5^2}{2}e^{-5}$。所以，所求概率的近似值为$1-e^{-5}(1+5+\frac{5^2}{2})$。
根据题目，随机误差$X\sim N(0,{10}^{2})$，即$X$服从均值为0，方差为100的正态分布。要计算单次测量误差绝对值大于19.6的概率，即$P\{|X|>19.6\}$，可以转换为$P\{\frac{|X|}{10}>1.96\}$，因为$X$服从标准正态分布$N(0,1)$时，$P\{Z>1.96\}=0.025$，所以$P\{|X|>19.6\}=2\times0.025=0.05$。
步骤 2：计算100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率
设$\mu$为100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数，$\mu$服从参数为$n=100$，$p=0.05$的二项分布。所求概率为$P\{\mu\geqslant3\}=1-P\{\mu<3\}$，即$1-P\{\mu=0\}-P\{\mu=1\}-P\{\mu=2\}$。根据二项分布的概率公式，$P\{\mu=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，代入$n=100$，$p=0.05$，$k=0,1,2$，计算得到$P\{\mu=0\}=(1-0.05)^{100}$，$P\{\mu=1\}=100\times0.05\times(1-0.05)^{99}$，$P\{\mu=2\}=\frac{100\times99}{2}\times0.05^2\times(1-0.05)^{98}$。
步骤 3：利用泊松分布求出概率的近似值
当$n$很大，$p$很小，且$np$适中时，二项分布可以近似为参数为$\lambda=np$的泊松分布。这里$n=100$，$p=0.05$，所以$\lambda=100\times0.05=5$。所求概率的近似值为$1-P\{\mu=0\}-P\{\mu=1\}-P\{\mu=2\}$，根据泊松分布的概率公式，$P\{\mu=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，代入$\lambda=5$，$k=0,1,2$，计算得到$P\{\mu=0\}=e^{-5}$，$P\{\mu=1\}=5e^{-5}$，$P\{\mu=2\}=\frac{5^2}{2}e^{-5}$。所以，所求概率的近似值为$1-e^{-5}(1+5+\frac{5^2}{2})$。