题目
从一批产品中抽取9件，测得其平均质量(单位：g)为20.01，样本标准差为0.203，已知其质量服从正态分布(mu ,(sigma )^2)，当(mu ,(sigma )^2)未知时，(mu ,(sigma )^2)的置信水平为0.95的置信区间为________.((mu ,(sigma )^2)，(mu ,(sigma )^2))
从一批产品中抽取9件，测得其平均质量(单位：g)为20.01，样本标准差为0.203，已知其质量服从正态分布
，当
未知时，
的置信水平为0.95的置信区间为________.(
，
)
题目解答
答案
从一批产品中抽取9件，则样本容量为
，测得其平均质量为20.01，则
，样本标准差为0.203，则
，已知其质量X服从正态分布，总体标准差未知时，总体均值的置信度为
的置信区间为
，其中
，则
，
，则当未知时，的置信水平为0.95的置信区间为
.
解析
步骤 1：确定样本容量和样本均值
从一批产品中抽取9件，因此样本容量为$n=9$。测得其平均质量为20.01，因此样本均值为$\overline{X}=20.01$。
步骤 2：确定样本标准差
样本标准差为$S=0.203$。
步骤 3：确定置信水平和自由度
置信水平为$1-\alpha=0.95$，因此$\alpha=0.05$。自由度为$n-1=8$。
步骤 4：计算置信区间
由于总体标准差未知，使用$t$分布来计算置信区间。置信区间为$(\overline{X}-\dfrac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1),\overline{X}+\dfrac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1))$。其中，${t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1)={t}_{0.025}(8)=2.31$。因此，置信区间的下限为$20.01-\dfrac{0.203}{\sqrt{9}}\times2.31=19.85369$，置信区间的上限为$20.01+\dfrac{0.203}{\sqrt{9}}\times2.31=20.16631$。
从一批产品中抽取9件，因此样本容量为$n=9$。测得其平均质量为20.01，因此样本均值为$\overline{X}=20.01$。
步骤 2：确定样本标准差
样本标准差为$S=0.203$。
步骤 3：确定置信水平和自由度
置信水平为$1-\alpha=0.95$，因此$\alpha=0.05$。自由度为$n-1=8$。
步骤 4：计算置信区间
由于总体标准差未知，使用$t$分布来计算置信区间。置信区间为$(\overline{X}-\dfrac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1),\overline{X}+\dfrac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1))$。其中，${t}_{\dfrac{\alpha}{2}}(n-1)={t}_{0.025}(8)=2.31$。因此，置信区间的下限为$20.01-\dfrac{0.203}{\sqrt{9}}\times2.31=19.85369$，置信区间的上限为$20.01+\dfrac{0.203}{\sqrt{9}}\times2.31=20.16631$。