题目
11.以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X和Y-|||-的联合分布律为-|||- X=n,Y=m =dfrac ({e)^-14times (7.14)^mtimes 6.86'}(m'((n-m)!)-|||-=0, 1,2,···,n; =0, 1,2,···-|||-(1)求边缘分布律.-|||-(2)求条件分布律.-|||-(3)特别,写出当 =20 时,Y的条件分布律.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求边缘分布律
首先，我们需要求出X和Y的边缘分布律。边缘分布律可以通过对联合分布律进行求和得到。
对于X的边缘分布律，我们有：
$P\{X=n\} = \sum_{m=0}^{n} P\{X=n,Y=m\}$
$= \sum_{m=0}^{n} \dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \sum_{m=0}^{n} \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \times (7.14 + 6.86)^{n}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \times 14^{n}$
$= \dfrac{14^{n} {e}^{-11}}{n!}$
对于Y的边缘分布律，我们有：
$P\{Y=m\} = \sum_{n=m}^{\infty} P\{X=n,Y=m\}$
$= \sum_{n=m}^{\infty} \dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{m!} \times {7.14}^{m} \times \sum_{n=m}^{\infty} \dfrac{{6.86}^{n-m}}{(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{m!} \times {7.14}^{m} \times {e}^{6.86}$
$= \dfrac{{7.14}^{m} {e}^{-4.14}}{m!}$
步骤 2：求条件分布律
条件分布律可以通过联合分布律除以边缘分布律得到。
对于$P\{X=n|Y=m\}$，我们有：
$P\{X=n|Y=m\} = \dfrac{P\{X=n,Y=m\}}{P\{Y=m\}}$
$= \dfrac{\dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}}{\dfrac{{7.14}^{m} {e}^{-4.14}}{m!}}$
$= \dfrac{{6.86}^{n-m} {e}^{-6.86}}{(n-m)!}$
对于$P\{Y=m|X=n\}$，我们有：
$P\{Y=m|X=n\} = \dfrac{P\{X=n,Y=m\}}{P\{X=n\}}$
$= \dfrac{\dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}}{\dfrac{14^{n} {e}^{-11}}{n!}}$
$= \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \times \left(\dfrac{7.14}{14}\right)^{m} \times \left(\dfrac{6.86}{14}\right)^{n-m}$
$= \binom{n}{m} \times 0.51^{m} \times 0.49^{n-m}$
步骤 3：求当X=20时，Y的条件分布律
当X=20时，Y的条件分布律为：
$P\{Y=m|X=20\} = \binom{20}{m} \times 0.51^{m} \times 0.49^{20-m}$
首先，我们需要求出X和Y的边缘分布律。边缘分布律可以通过对联合分布律进行求和得到。
对于X的边缘分布律，我们有：
$P\{X=n\} = \sum_{m=0}^{n} P\{X=n,Y=m\}$
$= \sum_{m=0}^{n} \dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \sum_{m=0}^{n} \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \times (7.14 + 6.86)^{n}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{n!} \times 14^{n}$
$= \dfrac{14^{n} {e}^{-11}}{n!}$
对于Y的边缘分布律，我们有：
$P\{Y=m\} = \sum_{n=m}^{\infty} P\{X=n,Y=m\}$
$= \sum_{n=m}^{\infty} \dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{m!} \times {7.14}^{m} \times \sum_{n=m}^{\infty} \dfrac{{6.86}^{n-m}}{(n-m)!}$
$= \dfrac{{e}^{-11}}{m!} \times {7.14}^{m} \times {e}^{6.86}$
$= \dfrac{{7.14}^{m} {e}^{-4.14}}{m!}$
步骤 2：求条件分布律
条件分布律可以通过联合分布律除以边缘分布律得到。
对于$P\{X=n|Y=m\}$，我们有：
$P\{X=n|Y=m\} = \dfrac{P\{X=n,Y=m\}}{P\{Y=m\}}$
$= \dfrac{\dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}}{\dfrac{{7.14}^{m} {e}^{-4.14}}{m!}}$
$= \dfrac{{6.86}^{n-m} {e}^{-6.86}}{(n-m)!}$
对于$P\{Y=m|X=n\}$，我们有：
$P\{Y=m|X=n\} = \dfrac{P\{X=n,Y=m\}}{P\{X=n\}}$
$= \dfrac{\dfrac{{e}^{-11} \times {7.14}^{m} \times {6.86}^{n-m}}{m!(n-m)!}}{\dfrac{14^{n} {e}^{-11}}{n!}}$
$= \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \times \left(\dfrac{7.14}{14}\right)^{m} \times \left(\dfrac{6.86}{14}\right)^{n-m}$
$= \binom{n}{m} \times 0.51^{m} \times 0.49^{n-m}$
步骤 3：求当X=20时，Y的条件分布律
当X=20时，Y的条件分布律为：
$P\{Y=m|X=20\} = \binom{20}{m} \times 0.51^{m} \times 0.49^{20-m}$