题目
设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体x^2(n)分布的样本，则E(overline(X))=____，D(overline(X))=____.
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$x^{2}(n)$分布的样本，则$E(\overline{X})=$____，$D(\overline{X})=$____.
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自自由度为 $n$ 的卡方分布，每个 $X_i$ 的期望 $E(X_i) = n$，方差 $D(X_i) = 2n$。
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，利用期望和方差的性质：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n
\]
\[
D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = 2
\]
答案：
\[
\boxed{n, 2}
\]
解析
本题考查卡方分布的期望与方差性质以及样本均值的期望和方差的计算。解题思路如下：
- 首先明确卡方分布的期望和方差公式：若随机变量$X$服从自由度为$k$的卡方分布，即$X\sim\chi^{2}(k)$，则$E(X)=k$，$D(X)=2k$。
- 对于本题，已知$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$\chi^{2}(n)$分布的样本，所以每个样本$X_i$（$i = 1,2,\cdots,n$）都服从自由度为$n$的卡方分布，根据上述公式可得$E(X_i)=n$，$D(X_i)=2n$。
- 接着求样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})$：
- 样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
- 根据期望的线性性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），对于$E(\overline{X})$有：
$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)$
因为$\frac{1}{n}$为常数，所以$E(\overline{X})=\frac{1}{n}E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)$。
又因为期望的和等于和的期望，即$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$，且$E(X_i)=n$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot n=n$。
- 然后求样本均值$\overline{X}$的方差$D(\overline{X})$：
- 同样根据方差的性质，若$Y=aZ$（$a$为常数，$Z$为随机变量），则$D(Y)=a^{2}D(Z)$，对于$D(\overline{X})$有：
$D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)$
因为$\frac{1}{n}$为常数，所以$D(\overline{X})=(\frac{1}{n})^{2}D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)$。 - 由于$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是相互独立的样本（样本的基本性质），根据独立随机变量和的方差等于方差的和，即$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$，且$D(X_i)=2n$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$D(\overline{X})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot 2n = 2$。
- 同样根据方差的性质，若$Y=aZ$（$a$为常数，$Z$为随机变量），则$D(Y)=a^{2}D(Z)$，对于$D(\overline{X})$有：