12、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E( X )=E(Y )=0, D( X)=D(Y )=1 ，求 E[( X+Y )2] .

步骤 1：利用期望的性质
根据期望的性质，我们有 E[(X+Y)^2] = E[X^2 + 2XY + Y^2] = E[X^2] + 2E[XY] + E[Y^2]。
步骤 2：利用方差的定义
根据方差的定义，我们有 D(X) = E[X^2] - (E[X])^2，因此 E[X^2] = D(X) + (E[X])^2。同理，E[Y^2] = D(Y) + (E[Y])^2。
步骤 3：利用随机变量的独立性
由于 X 和 Y 相互独立，我们有 E[XY] = E[X]E[Y]。
步骤 4：代入已知条件
根据题目条件，E[X] = E[Y] = 0，D(X) = D(Y) = 1，代入上述公式，我们有 E[X^2] = 1 + 0^2 = 1，E[Y^2] = 1 + 0^2 = 1，E[XY] = 0 * 0 = 0。
步骤 5：计算 E[(X+Y)^2]
将步骤 4 的结果代入步骤 1 的公式，我们有 E[(X+Y)^2] = 1 + 2 * 0 + 1 = 2。