设X1,X2,···,Xn为总体X的一个样本,x1,x2-|||-,···xn为其相应的样本值.总体的概率密度函-|||-数为-|||-f(x)= ) (2)^theta theta (x)^-(theta +1), xgt 2 0," data-width="380" data-height="215" data-size="27879" data-format="png" style="">

2 时），因此\\&总体 X 的期望 E(X) 为： \\ &E(X) = \int_2^{\infty} x f(x) \, dx \\ &代入 f(x) 的表达式，得到： \\ &E(X) = \int_2^{\infty} x \times 2^\theta \theta x^{-(\theta+1)} \, dx \\&= 2^\theta \theta \int_2^{\infty} x^{-\theta} \, dx \end {aligned}" data-width="382" data-height="445" data-size="50885" data-format="png" style=""> 1 \\ &因此，期望 E(X) 为： \\ &E(X) = 2^\theta \theta \times \frac{2^{1-\theta}}{\theta-1} = \frac{2 \theta}{\theta-1} \\ & （2）样本的矩 \\ &样本的矩为样本值的平均值： \\ &\bar{x} = \frac{1}{n} {{\sum}}_{i=1}^n x_i \\ &根据矩估计法，样本的矩等于总体的矩，即： \\ &\bar{x} = E(X) = \frac{2 \theta}{\theta-1} \\ &解这个方程来估计 \theta ： \\ &\bar{x} = \frac{2 \theta}{\theta-1} \\ &两边乘以 \theta-1 ，得到： \\ &\bar{x} (\theta-1) = 2 \theta \\ &整理后得到： \\ &\bar{x} \theta - \bar{x} = 2 \theta \\ &移项得到： \end {aligned}" data-width="381" data-height="615" data-size="50360" data-format="png" style="">