题目

2.8 设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是总体xisim N(mu,sigma^2)的样本，(Y_(1),Y_(2),...,Y_(n))是总体etasim N(mu,sigma^2)的样本，两个样本相互独立，overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，overline(Y)=(1)/(n)sum_(i=1)^nY_(i)是xi，eta的样本均值，求统计量sum_(i=1)^n(X_(i)+Y_(i)-overline(X)-overline(Y))^2的数学期望.

2.8 设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是总体$\xi\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$(Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n})$是总体$\eta\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，两个样本相互独立，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i}$是$\xi$，$\eta$的样本均值，求统计量$\sum_{i=1}^{n}(X_{i}+Y_{i}-\overline{X}-\overline{Y})^{2}$的数学期望.

题目解答

答案

定义新变量 $Z_i = X_i + Y_i$，则 $Z_i \sim N(2\mu, 2\sigma^2)$。样本均值 $\overline{Z} = \overline{X} + \overline{Y}$，统计量可重写为 $\sum_{i=1}^{n} (Z_i - \overline{Z})^2$。由正态分布性质，$\frac{(n-1)S_Z^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其中 $S_Z^2$ 为 $Z_i$ 的样本方差，期望为 $2\sigma^2$。因此，$\mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^{n} (Z_i - \overline{Z})^2 \right] = (n-1) \cdot 2\sigma^2 = 2(n-1)\sigma^2$。或直接展开： \[ \sum_{i=1}^{n} \left[ (X_i - \overline{X}) + (Y_i - \overline{Y}) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 + 2 \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) + \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 \] 由于 $X_i$ 与 $Y_i$ 独立，交叉项期望为0，故总期望为： \[ (n-1)\sigma^2 + (n-1)\sigma^2 = 2(n-1)\sigma^2 \] **答案：** $\boxed{2(n-1)\sigma^2}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布样本的线性组合性质、样本方差的期望以及协方差的计算。关键在于将原统计量转化为更易处理的形式，并利用正态分布的性质求解。

解题核心思路：

构造新变量：将$X_i + Y_i$视为新变量$Z_i$，利用正态分布的可加性确定其分布。
简化统计量：将原统计量转化为$Z_i$的离均差平方和，利用样本方差的期望公式直接求解。
直接展开法：展开平方项后，分别计算各部分的期望，特别注意独立性带来的协方差为零的性质。

破题关键点：

独立性应用：$X$与$Y$独立，导致协方差项为零。
方差性质：正态变量线性组合的方差可加性，以及样本方差的无偏性。

步骤1：构造新变量

定义$Z_i = X_i + Y_i$，由于$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y_i \sim N(\mu, \sigma^2)$且独立，故：
$Z_i \sim N(2\mu, 2\sigma^2)$

步骤2：简化统计量

原统计量可改写为：
$\sum_{i=1}^{n} (Z_i - \overline{Z})^2$
其中$\overline{Z} = \overline{X} + \overline{Y}$是$Z_i$的样本均值。

步骤3：利用样本方差性质

对于正态总体，样本方差$S_Z^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Z_i - \overline{Z})^2$是无偏估计，即：
$\mathbb{E}[S_Z^2] = 2\sigma^2$
因此：
$\mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^{n} (Z_i - \overline{Z})^2 \right] = (n-1) \cdot 2\sigma^2 = 2(n-1)\sigma^2$

步骤4（备选）：直接展开验证

将原式展开为：
$\sum_{i=1}^{n} \left[ (X_i - \overline{X}) + (Y_i - \overline{Y}) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 + 2 \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y}) + \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2$

第一项与第三项：$\mathbb{E}\left[ \sum (X_i - \overline{X})^2 \right] = (n-1)\sigma^2$，同理第三项也为$(n-1)\sigma^2$。
第二项：由于$X$与$Y$独立，协方差$\text{Cov}(X_i - \overline{X}, Y_i - \overline{Y}) = 0$，故期望为0。

综上，总期望为：
$(n-1)\sigma^2 + (n-1)\sigma^2 = 2(n-1)\sigma^2$