题目
610 一质量为m的子弹进入沙箱时速度为v0,所受的阻力与子弹的速度成正比(比例系-|||-数 gt 0), 则子弹能打进的深度是-|||-(A) dfrac (2m)(k)(v)_(0) (B) dfrac (2k)(m)(v)_(0) (C) dfrac (m)(k)(v)_(0) (D) dfrac (k)(m)(v)_(0)
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立运动方程
根据牛顿第二定律，子弹在沙箱中运动时满足 $m\dfrac{{d}^{2}s}{d{t}^{2}}=-k\dfrac{ds}{dt}$ ，其中 $m$ 是子弹的质量，$k>0$ 是阻力与子弹速度成正比的比例系数。
步骤 2：降阶处理
记 $v=\dfrac{ds}{dt}$ ，则有 $m\dfrac{dv}{dt}=-kv$ 。这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
对 $m\dfrac{dv}{dt}=-kv$ 进行分离变量，得到 $dv=-\dfrac{k}{m}dt$ 。利用初值条件 $v(t){|}_{t=0}={v}_{0}$ ，积分得 $v=-\dfrac{k}{m}s+{v}_{0}$ 。
步骤 4：求解子弹能打进的深度
由 $v=0$ 得 $s=\dfrac{m}{k}{v}_{0}$ ，即子弹能打进的深度是 $\dfrac{m}{k}{v}_{0}$ 。
根据牛顿第二定律，子弹在沙箱中运动时满足 $m\dfrac{{d}^{2}s}{d{t}^{2}}=-k\dfrac{ds}{dt}$ ，其中 $m$ 是子弹的质量，$k>0$ 是阻力与子弹速度成正比的比例系数。
步骤 2：降阶处理
记 $v=\dfrac{ds}{dt}$ ，则有 $m\dfrac{dv}{dt}=-kv$ 。这是一个一阶线性微分方程。
步骤 3：求解微分方程
对 $m\dfrac{dv}{dt}=-kv$ 进行分离变量，得到 $dv=-\dfrac{k}{m}dt$ 。利用初值条件 $v(t){|}_{t=0}={v}_{0}$ ，积分得 $v=-\dfrac{k}{m}s+{v}_{0}$ 。
步骤 4：求解子弹能打进的深度
由 $v=0$ 得 $s=\dfrac{m}{k}{v}_{0}$ ，即子弹能打进的深度是 $\dfrac{m}{k}{v}_{0}$ 。